Dielectricos Aproximados (2)

CALCULO  APROXIMADO  DE  DIELECTRICOS:

Para calcular teóricamente las dimensiones de la placa dieléctrica, debemos recurrir a las ecuaciones de propagación de ondas en guías de onda cilíndricas (que es la forma común del feed de un LNBF).El objetivo matemático es lograr que la componente del campo eléctrico que viaja paralela a la placa se retrase exactamente 90 grados (pi/2 radianes) respecto a la componente que viaja perpendicular a ella. Aquí se explicarán las fórmulas fundamentales y el procedimiento físico para calcular el desfasaje de un dielectrico rectangular tipico de banda Ku, banda C y banda Ka.

Calculo para Banda Ku, de teflón:

Frecuencia (F): 11700 mhz o 11,7 ghz

Velocidad de la luz: 300.000 mm/s

Diametro del Feed: 28 mm

Espesor del dielectrico: 4mm

Material: Teflon

Permitividad relativa (Er):  2.1

Permitividad efectiva:(Eeff) 1.45

Longitud de Onda en el Espacio Libre

lambda_0=C/F = 300000/11700 = 25.64 mm

Longitud de Onda de Corte (lambda_C)

para el modo fundamental TE11

X11=1.8412 siempre

lambda_C=pi*D/X11 = (3.141596 * D)/1.8412 =

lambda_C= 1.7062 * D = 1.7062 * 28= 47.77 mm

Análisis de las dos componentes del campo

(Modo ortogonal): cuando una onda circular entra

en el polarizador, su campo electrico se descompone

en dos vectores perpendiculares entre si.

La componente paralela (Epart) y la componente

perpendicular (Eperp).

Componente Perpendicular (modo sin dieléctrico)

una barra de teflón de 4mm tiene una permitividad 

efectiva menor de Eeff_perp= 1.03

la ecuacion de la longitud de onda en la guia es:

lambda_G.aire= lambda_0 /SQRT(Eeffper - (lambda_0 / lambda_C)^2))

lambda_G.aire= 25.64/SQRT((1.03 - (25.64/47.77)^2))

lambda_G.aire= 25.64/SQRT(1.03 - 0.288)

lambda_G.aire= 25.64/SQRT(0.742) = 29.76 mm

Componente paralela (modo con dieléctrico)

Como se usa teflon, es:

lambda_G.diel=lambda_0/SQRT(Eeff.par - (lambda_0/lambda_C)^2)

lambda_G.diel=25.64/SQRT(1.45 - (25.64/47.77)^2)

lambda_G.diel=25.64/SQRT(1.45 - 0.288) = 25.64/SQRT(1.162)

lambda_G.diel=23.79

Constantes de propagación (Beta):

Es el dato que nos avisa cuantos radianes de fase 

avanza la onda por cada milímetro que recorre.

Beta= 2 * pi /lambda_G

Para la componente rápida (perpendicular x aire):

Bsin= 2 * pi/lambda_G.aire = 6.2831/29.76mm = 0.211 rad/mm

Para la componente lenta (Paralela x teflon):

Bcon= 2 * pi/lambda_G.diel = 6.2831/23.79mm = 0.264 rad/mm

Calculo de la longitud fisica (L)

Para lograr la polarización circular, una de sus componentes 

debe retrasarse 90 grados respecto a la otra.

90 grados = pi/2 radianes = 1.5708 rad

La diferencia de fase acumulada por milimetro es:

delta_B=Bcon - Bsin= 0.264 - 0.211 = 0.053 rad/mm

de donde surge la longitud fisica L necesaria para

acumular 1.5708 rad:

L = delta_fi/delta_B = 1.5708 rad / 0.053 rad.mm =

L = 29.6 mm

El dieléctrico rectangular es de 29.6 mm x 28 mm. despues tenemos que ver si lo convertimos en doble flecha o lo dejamos asi.

Calculo para banda Ku de Polietileno:

Si usamos una "tabla de picar carne" (polietileno) para el dieléctrico, se puede estimar el Eeff perpendicular en 1.50, siendo generosos, dado que su Er es de 2.3. la otra componente en cambio se mantiene igual. lambda_G.aire= 29.76 mm y Bsin= 0.211 rad/mm. Si en cambio usamos acrilico (Er=2.7) Eeff será de 1.65 y seguramente el polarizador será de 19.8 mm.

comenzamos desde:

Componente paralela (modo con dieléctrico)

Como se usa teflon, es:

lambda_G.diel=lambda_0/SQRT(Eeff.par - (lambda_0/lambda_C)^2)

lambda_G.diel=25.64/SQRT(1.50 - (25.64/47.77)^2)

lambda_G.diel=25.64/SQRT(1.50 - 0.288) = 25.64/SQRT(1.212)

lambda_G.diel=25.64/1.101=23.29

Constantes de propagacion (Beta):

Es el dato que nos avisa cuantos radianes de fase avanza la onda por cada milímetro que recorre.

Beta= 2 * pi /lambda_G

Para la componente rapída (perpendicular x aire):

Bsin= 2 * pi/lambda_G.aire = 6.2831/29.76mm = 0.211 rad/mm

Para la componente lenta (Paralela x teflon):

Bcon= 2 * pi/lambda_G.diel = 6.2831/23.29mm = 0.270 rad/mm

Calculo de la longitud fisica (L)

Para lograr la polarización circular, una de sus componentes

 debe retrasarse 90 grados respecto a la otra.

90 grados = pi/2 radianes = 1.5708 rad

La diferencia de fase acumulada por milimetro es:

delta_B=Bcon - Bsin= 0.270 - 0.211 = 0.059 rad/mm

de donde surge la longitud fisica L necesaria para

acumular 1.5708 rad:

L = delta_fi/delta_B = 1.5708 rad / 0.059 rad.mm =

L = 26.6 mm

El dieléctrico rectangular es de 26.6 mm x 28 mm. después tenemos que ver si lo convertimos en doble flecha o lo dejamos asi.

Calculo para Banda C de HDPE:

las formulas son casi las mismas... no te olvides que a mas alta frecuencia se complican los calculos, no asi al pasar a banda C.

banda: C

frecuencia central: 3800 mhz

permitividad efectiva (Eeff)= 1.165

material: HDPE

espesor: 6mm

diámetro del feed: 60 mm

Longitud de Onda en el Espacio Libre

lambda_0=C/F = 300000/3800 = 78.95 mm

Componente paralela (modo con dieléctrico)

Como se usa teflón, es:

lambda_G.diel=lambda_0/SQRT(Eeff - (lambda_0/1.706*D)^2)

lambda_G.diel=78.95/SQRT(1.165 - (78.95/1.706*60)^2)

lambda_G.diel=78.95/SQRT(1.165 - (78.95/102.36)^2)

lambda_G.diel=78.95/SQRT(1.165 - 0.595)

Lambda_G.diel=78.95/SQRT(0.570)

Lambda_G.diel=78.95/0.755= 104.56 mm

Constantes de propagación (Beta):

Es el dato que nos avisa cuantos radianes de fase avanza la onda por cada milímetro que recorre.

Beta= 2 * pi /lambda_G

constante de propagación con dieléctrico:

Bcon= 2*pi/lambda_G.diel = 6.2831/104.56mm = 0.0601 rad/mm

longitud de onda en la guia sin dielectrico 

calculamos la guía de ondas vacía para esa frecuencia y diámetro.

lambdaG.aire= 78.95/SQRT(1.0 - 0.595)=

lambdaG.aire= 78.95/SQRT(0.405)

lambdaG.aire= 78.95/0.636 = 124.03 mm

constante de propagación sin dieléctrico:

Bsin= 2*pi/lambdaG-aire = 6.2831/124.03 = 0.0507 rad/mm

Calculo de la longitud fisica (L)

Para lograr la polarización circular, una de sus componentes 

debe retrasarse 90 grados respecto a la otra.

90 grados = pi/2 radianes = 1.5708 rad

La diferencia de fase acumulada por milímetro es:

delta_B=Bcon - Bsin= 0.0601 - 0.0507 = 0.0094 rad/mm

de donde surge la longitud física L necesaria para

acumular 1.5708 rad:

L = delta_fi/delta_B = 1.5708 rad / 0.0094 rad.mm =

L = 167.1 mm

El dieléctrico rectangular de banda C es de 167.1 mm x 60 mm. después tenemos que ver si lo convertimos en doble flecha o le damos mas espesor o cambiamos de material para ver si se acorta aun mas el largo del mismo.

Calculo para Banda Ka:

dieléctrico: teflón

Er= 2.1

Eeff= 1.18

espesor= 1 mm

feed= 11.5 mm

frecuencia= 19000 mhz (19 ghz)

Calculamos la long. de onda en el espacio libre:

lambda0= 300000/19000 = 15.79 mm

longitud de corte de la guia de 11.5 mm:

lambdaC= 1.706 * 11.5 = 19.62 mm

longitud de onda guiada con dielectrico:

lambdaG.diel= 15.79/SQRT(1.18 - (15.79/19.62)^2)

lambdaG.diel= 15.79/SQRT(1.18 - (0.8048)^2)

lambdaG.diel= 15.79/SQRT(1.18 - 0.6477)

lambdaG.diel= 15.79/SQRT(0.5323)

lambdaG.diel= 15.79/0.7296 = 21.64 mm

longitud de onda guiada en el aire:

lambdaG.aire= 15.79/SQRT(1.0 - 0.6477)

lambdaG.aire= 15.79/SQRT(0.3523)

lambdaG.aire= 15.79/0.5935

lambdaG.aire= 26.60 mm

constantes de propagacion y largo final:

Bcon= 6.2831/21.64 = 0.2903 rad/mm

Bsin= 6.2831/26.60 = 0.2362 rad/mm

diferencia de fase por milimetro:

delta_B= 0.2903 - 0.2362 = 0.0541 rad/mm

Largo fisico requerido:

L= 1.5708/0.0541 = 29.03 mm

el polarizador para banda Ka es de 29.03 mm para un feed de 11.5 mm y teflon de 1 mm de espesor. En cambio, si el espesor es de 0.5 mm, el polarizador sera de 55.1 mm pero tendra un excelente paso de la señal.

Tabla con las permitividades relativas (Er) de algunos materiales:

teflon (PTFE)................2.00 a 2.10

Polietileno (PE)............2.25 a 2.30

Acrilico (PMMA).........2.60 a 3.00

Plasticos (ABS/PVC)...2.50 a 4.00

Aire .............................1.00 a 1.00

Existe una formula que calcula rapido la Eeff de un material,

siempre por aproximacion.

Eeff= 1+(Er-1)* (espesor.dielec/diam.feed) * Fmodo

y donde Fmodo vale entre 1.2 y 1.4

Para el teflon da:

Eeff=1+(2.1-1)* (4/28) * 1.4 = 1+1.1 * 0.142 * 1.4= 1.22

Generalmente en el calculo optimista usamos 1.45, que mas que un promedio viene a ser el pico de máxima energía del campo. En realidad hoy en día, la Eeff se calcula en un software de simulación electromagnética midiendo los parámetros de dispersión.

Como observamos en los cálculos, hay un montón de parámetros a considerar y eso que el calculo es aproximado, entonces hacer el calculo justo no está a nuestro alcance amateur. Por eso son cálculos aproximados.

Todos estos comentarios que les hago, son para expresar lo difícil que es para un FTApero el calculo optimo de un dieléctrico perfecto. El dieléctrico es mas que un "pedazo de plástico" dentro del feed. las ondas de TV lo atraviesan y si no esta correctamente diseñado, calculado y colocado, atenuara las señales que nos interesa recibir. Lo que sucede dentro del feed cuando colocamos ese dieléctrico supera nuestra imaginación. Si pudiésemos ver lo que pasa dentro del feed y las variables que lo producen, entenderíamos mejor porque es tan complejo calcularlo y el FTApero solo hace cálculos aproximados para no entrar en cálculos de alta matemática que no manejamos todos los días y al final, después de calcular todo, tomamos una sierra y la precisión de corte, con suerte, es de 0,5 mm. Ese medio milímetro cuenta. en microondas cada dimensión cuenta. y las dimensiones son pequeñas en decimas de milímetro.

A los que no entienden mucho las formulas, reemplacen los datos en las formulas por los suyos y rehagan así la cuenta. cambien la frecuencia, el espesor, el material aunque no entiendan totalmente las ecuaciones, reemplazando los valores por los suyos, el resultado debe poder hallarse igual.

Como anticipé, mas adelante intentaré hacer un programa en Clipper/Harbour para que alivie el calculo del dieléctrico aproximado. recuerden que es un calculo aproximado. tengan siempre la lima a mano para hacer ajustes finos en los dieléctricos y a las dimensiones sugeridas, agreguen algunos milímetros mas para hacer el ajuste fino final.

Espero que el Articulo sea de utilidad para todos los FTAperos. Si alguien consigue cálculos de dieléctricos para polarizadores con mayor precisión, y que se pueda explicar de una manera razonable sin entrar en la alta matemática que aburre, son bien recibidos.

En el próximo articulo, como calcular las puntas doble flecha y mas !!!

Saludos Cordiales

FTApinamar