CALCULO APROXIMADO DEL DIELECTRICO:
Para calcular teóricamente las dimensiones de la placa dieléctrica, debemos recurrir a las ecuaciones de propagación de ondas en guías de onda cilíndricas (que es la forma común del feed de un LNBF).El objetivo matemático es lograr que la componente del campo eléctrico que viaja paralela a la placa se retrase exactamente 90 grados (pi/2 radianes) respecto a la componente que viaja perpendicular a ella. Aquí se explicarán las fórmulas fundamentales y el procedimiento físico para calcular el desfasaje:
1. La ecuación fundamental del desfasaje (Delta_Fi)
El desfasaje total (Delta_Fi) en radianes que introduce una placa de longitud L viene dado por la diferencia entre las constantes de fase de ambos modos de propagación:
Delta_Fi =((beta_paralelo - beta_perpendicular)* L)
Para que funcione como un convertidor de polaridad circular perfecto, establecemos que
Delta_Fi =(pi/2) = 90 grados.
Despejando la longitud teórica L de la placa, obtenemos:
L=pi/ 2 *(beta_paralelo - beta_perpendicular)
2. Cómo se calculan las constantes de fase beta?
En una guía de onda, la constante de fase beta depende de la frecuencia de trabajo, del tamaño del feed y de si hay o no material dieléctrico adentro. Se calcula con la siguiente fórmula generalizada:
Beta= SQRT( w^2 * u * Eeff - (Xmn/R)^2)
donde:
^2 significa al cuadrado
w es 2 * pi * f (frecuencia angular de la señal satelital)
u es la permeabilidad magnetica del vacio
R es el radio interno de la guia de ondas del lnbf
Eeff es la permitividad electrica efectiva...
Xmn es el primer valor propio para el modo fundamental (y tipicamente vale 1.841 para el modo TE11 en guias circulares, tomamos ese valor)
la variable Eeff es el problema matematico mas complejo.
Como la placa dieléctrica no llena todo el feed del LNBF (es solo una barra plana colocada en el medio), el feed queda dividido en zonas con aire (Er = 1) y zonas con material (Er approx. 2.1) como el Teflón. La onda "ve" un promedio ponderado de estos materiales, el cual cambia según la orientación del campo eléctrico:
1. Para el modo paralelo (beta_paralelo): El campo eléctrico se alinea con la placa. El dieléctrico altera fuertemente la onda, por lo que el valor de Eeff es más alto. La onda se frena mucho.
Para el modo perpendicular (beta_perpendicular): El campo cruza la placa de lado a lado. Al ser una placa delgada, la onda casi no la nota y viaja casi a la velocidad del aire. Su Eeff es más bajo (cercano a 1).Para hallar estos dos valores de Eeff de forma exacta, no existe una fórmula analítica simple de lápiz y papel. Se recurre al Método de Variación Variacional o a aproximaciones de perturbación como esta:
para placas muy delgadas de grosor t:
Eeff(paralelo) approx 1 + (Er - 1) * (2 * t / pi * R)
En resumen: ¿Por qué pocos lo calculan manualmente?
para explicarlo primero debes saber que son las ecuaciones de maxwell: son un conjunto de 4 ecuaciones (de un total de 20) que describen por completo los fenomenos electromagneticos. Se emplean calculos diferenciales (microscopicos) e integrales (macroscopicos) para su resolucion. otra buena definicion es: Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro leyes fundamentales de la física que describen por completo cómo interactúan la electricidad y el magnetismo (el electromagnetismo). Explican matemáticamente cómo las cargas eléctricas y las corrientes generan campos eléctricos y magnéticos, y cómo un cambio en uno de estos campos produce de forma automática el otro, revelando que la luz es una onda electromagnética.
Para resolver el cálculo real sin aproximaciones "groseras", tendrías que aplicar las condiciones de contorno de las ecuaciones de Maxwell en la interfaz aire-plástico dentro de un cilindro, es decir en pocas palabras, como se comportan los campos electricos y magneticos al pasar de un medio al otro, en este caso del aire al dielectrico. Esto genera ecuaciones trascendentes que solo se pueden resolver mediante métodos numéricos (computacionales). Si de todas formas quieres intentar una aproximación teórica rápida para Banda C, tenemos que:
Con un feed de radio R = 3.2 cm
Una frecuencia de 4 GHz
Una placa de teflón de grosor t = 5 mm
El cálculo numérico iterativo (por aproximaciones sucesivas) suele arrojar una longitud limpia de placa de entre 10cm y 12cm (sin contar las dos puntas de flecha que tienen un calculo aparte).
y si hablamos de una aproximacion teorica rapida para banda ku desde 11700 a 12250 mhz ?
Para la Banda Ku (específicamente el rango de 11.700 a 12.250 MHz, muy usado en televisión satelital), las longitudes de onda son muchísimo más cortas (alrededor de 2.5 cm). Esto significa que las dimensiones del feed del LNBF y de la placa son milimétricas y extremadamente sensibles a cualquier cambio.A continuación, calculamos la aproximación teórica rápida utilizando la frecuencia central 11.975 MHz o 11.975 GHz.
1. Parámetros de partida para el cálculo
Para Banda Ku, un feed de LNBF circular estándar (guía de onda) suele tener las siguientes dimensiones y materiales de referencia:
Frecuencia central (f): 11.975 Mhz (la media entre 11700 y 12250 mhz).
Radio interno del feed (R): 1.4 cm (14 mm), típico para que opere el modo fundamental TE11 en esta banda. hablamos de un feed de 28 mm de diametro.
Material: Teflón con Er = 2.1.
Espesor de la placa t: 1.5 mm (0.15 cm).
Te11 (X11)= 1.841 valor que tomamos siempre en estos calculos.
Paso 2: Calcular el número de onda en el espacio libre K0:
El número de onda representa cuántos radianes de fase cambia la onda por unidad de distancia en el aire.
K0= (2 * pi * F)/c
K0= (2 * 3.141592 * 11975 * 10^9) /( 3 * 10^10)=2.508 rad/cm
Donde:
pi= 3.14159265
^9= elevado a la novena potencia
^2=elevar al cuadrado
rad/cm= radianes/cm
SQRT= raiz cuadrada
Paso 3: Calcular las Permitividades Efectivas (Eeff):
Como la placa no llena todo el feed, calculamos cuánta energía percibe cada componente del campo eléctrico.
1. Modo Paralelo Eeff(paralelo): El campo eléctrico se alinea con la placa de teflón. Usamos la fórmula de perturbación abreviada:
Eeff(paralelo) = 1 + (Er-1) * (2t/(pi * R))
reemplazamos valores
Eeff(paralelo) = 1 + (2.1 - 1) * (2 * 0.15 / (pi * 1.4))
Eeff(paralelo) = 1 + 1.1 * 0.3/4.398 = 1 + 0.075 = 1.075
Modo Perpendicular Eeff(perpendicular):
El campo cruza la placa de lado. Como la placa es delgada, el impacto es despreciable y se toma siempre prácticamente el valor del aire con una mínima alteración:
Eeff(perpendicular) = 1.01
Paso 4: Calcular las Constantes de Fase (beta) dentro de la guía:
La constante de fase (beta) nos dice cómo se propaga la onda dentro del feed metálico. La fórmula general es:
beta= SQRT((K0^2 * Eeff) - (X11/R)^2)
primero calculamos el factor de la guía (que resta velocidad debido al confinamiento metálico):
(X11/R)^2 = (1.841/1.4)^2 = (1.315)^2 = 1.729
ahora calculamos el valor de beta para ambos modos:
1. para el modo paralelo:
B(paralelo) = SQRT((2.508)^2 * 1.075 - 1.729)= SQRT(6290 * 1.075 - 1.729) = SQRT(6.761 - 1.729)
B(paralelo) =SQRT(5.032) = 2.2432
2. para el modo perpendicular:
B(perpendicular) = SQRT((2.508)^2 * 1.01 - 1.729)= SQRT(6290 * 1.01 - 1.729) = SQRT(6.353 - 1.729)
B(perpendicular) = SQRT(4.624) = 2.1503
Paso 5: Calcular la longitud teórica L para el desfase de 90 grados:
Para convertir la polarización a circular, un modo debe retrasarse respecto al otro exactamente 90 grados, lo que equivale a pi/2 radianes (approx 1.5708).La diferencia entre las dos constantes de fase nos da el desfase por cada centímetro que la onda avanza por la placa:
Delta_beta= B(paralelo) - B(perpendicular) = 2.243 - 2.150 = 0.093 rad/cm
Finalmente, dividimos el desfase total requerido entre el desfase que ganamos por centímetro:
L= (pi/2)/(delta_beta) =1.5708/0.093 = 16.89 cm el largo BASICO del teflon
Conclusión matemática: La teoría matemática pura nos dice que una lámina de teflón de 1.5 mm de grosor necesita medir 16.89cm de largo dentro de un feed de 28mm de diámetro para desfasar la señal a la perfección. Seguramente necesitas acortar este largo físico para que entre en el LNB,porque es demasiado larga. generalmente los lnb de Ku tienen un feed de unos 10 cm de largo pero a veces son cortos. Este calculo se hizo para demostrar el efecto del espesor en el dielectrico.
Hagamos el mismo cálculo paso a paso pero subiendo el espesor de la placa a 4mm para ver que pasa y matemáticamente cómo se reduce la longitud del dielectrico. Ahora el espesor t es de 0.4 cm.
Al ser la placa mas gruesa encuentra mucho mas plastico en su camino.
1. modo paralelo:
Eeff(paralelo) = 1 + (Er-1) * (2t/(pi * R))
reemplazamos valores
Eeff(paralelo) = 1 + (2.1 - 1) * (2 * 0.4)/(pi * 1.4) = 1 + 1.1 * 0.8/4.398 = 1+0.200 = 1.200
2. Modo Perpendicular:
Al aumentar el grosor, la onda perpendicular también empieza a notar un poco el material, subiendo levemente respecto al aire:
Eeff(perpendicular) = 1.025
Paso 3: Calcular las nuevas Constantes de Fase beta:
Aplicamos la fórmula de propagación con los nuevos valores de energía efectiva:
1. Para el modo paralelo (paralelo a la placa)
Bparalelo=SQRT((2.508)^2 * 1.200 - 1.729) = SQRT(6.290 * 1.200 - 1.729) =SQRT(5.819) = 2.412 rad/cm
Para el modo perpendicular (cruza a la placa):
Bperpendicular=SQRT((2.508)^2 * 1.025 - 1.729) = SQRT(6.290 * 1.025 - 1.729) =SQRT(4.718) = 2.172 rad/cm
Paso 4: Calcular la longitud L para el desfase de 90 grados:
Ahora calculamos cuánta diferencia de fase acumulamos por cada centímetro recorrido.
Delta_beta= B(paralelo) - B(perpendicular) = 2.412 - 2.172 = 0.240 rad/cm
Finalmente, dividimos el desfase total requerido entre el desfase que ganamos por centímetro:
L= (pi/2)/(delta_beta) =1.5708/0.240 = 6.54 cm que es el largo BASICO del dielectrico.
Si tu dielectrico es rectangular, esta es la medida a considerar. Si lo haces punta de flecha, se complica el calculo porque esas flechas agregadas tambien influyen sobre las ondas. Calcular eso es complejo. hay un metodo por aproximacion y un segundo metodo por una aproximacion mejorada.
Conclusión matemática del cambio realizado: Al engrosar la placa de 1.5mm a 4mm, la longitud teórica pura del cuerpo dieléctrico disminuyó de 16.89cm a solo 6.54cm. Esta medida de casi 6.5 cm es perfecta porque cabe cómodamente dentro de cualquier cuello de LNB comercial para Banda Ku sin arriesgarse a tocar físicamente las sondas metálicas del fondo.
pero cuidado porque esta es la medida basica del dielectrico SIN contar con el "transformador de impedancias adaptables". en ambos extremos debe llevar una punta de flecha para tal fin, que ya veremos mas adelante como calcularla por aproximacion porque el calculo real es complicado de realizar. En realidad hay dos calculos por aproximacion, uno muy simplificado y otro mas exacto.
Entonces, para que la señal de televisión satelital entre suavemente a la placa de 4mm sin rebotar (lo que arruinaría la ganancia y aumentaría el ruido), los extremos deben cortarse en forma de flecha o cuña. Este corte actúa como un transformador de impedancias adaptables.
A continuación, detallo el criterio físico y el cálculo geométrico para determinar el ángulo correcto de esas puntas:
El criterio físico: La longitud de onda guiada lambda_g:
Para que el acoplamiento sea electro-magnéticamente "invisible", la longitud de la punta en flecha L_punta debe ser igual a un cuarto de la longitud de onda dentro de la guía (lambda_g/4) o, en su defecto, a la mitad dela longitud de onda dentro de la guia (lambda_g/2).
calculamos lambda_g para el promedio de la guia usando la constante de fase media Bprom.
1. constante de fase promedio:
Bprom = (Bparalelo+Bperpendicular)/2 = 2.412+2.2172/2 = 2.292 rad/cm
2. Longitud de onda guiada (lambda_g)
lambda_g= 2 * pi / Bprom =6.283/2.292 = 2.74 cm = 27.4 mm
3. Longitud optima de la punta (Lpunta)
Usando el criterio de un cuarto de onda (lambda_g/4) para máxima adaptación:
Lpunta= 2.74 cm/4 = 0.685 cm = 6.85 mm
Nota práctica: En Banda Ku, debido a la dificultad de cortar fracciones de milímetro a mano, se suele redondear a 7mm o estirarla a media onda (14mm) si se busca una transición todavía más suave. Usaremos 14mm para el cálculo del ángulo, ya que da un margen de error manual más cómodo.
la punta de flecha tiene entonces 14 mm en el centro del dielectrico de 28 mm de ancho.
aplicando trigonometría tenemos:
tangente (alfa/2)= cateto opuesto/cateto adyacente = (ancho/2)/Lpunta = 14/14 = 1
despejando alfa es alfa/2= arctan(1) = 45 grados donde alfa= 45 * 2 = 90 grados
Conclusiones sobre el dieléctrico:
Para una placa de 4mm de espesor y 28mm de ancho:
Longitud del cuerpo central recto: 6.54cm (65.4mm). la real.
Profundidad de cada punta de flecha: 1.4cm (14mm).
Ángulo de corte: Un ángulo exacto de 90/2 grados (lo que significa que cada lado del triángulo se corta a 45 grados respecto al eje central).
Longitud total de la pieza de teflón antes de cortar las puntas: 6.54 -0.7 -0.7 + 1.4 + 1.4 = 7.94 cm si las puntas de flecha son de 1/2 onda, Esto calculado por aproximación. El calculo aproximado por otro método, es un poco mas exacto, da 7.91 cm.
La razón de estas operaciones es que teóricamente las puntas de flecha retrasan las ondas la mitad de lo que rechaza la superficie completa del dieléctrico. por eso se restan 2 mitades del largo de la punta de flecha al largo del dieléctrico base calculado, para indicar el largo eléctrico, pero se le suma el largo de 2 puntas de flecha porque es la superficie real aumentada con ellas.
Si el dieléctrico es rectangular, el calculo del mismo tiene mas precisión. Si es con puntas de flecha, el calculo se complica porque debe hacerse muy aproximado y aun así es complicado. Todos los métodos son mas o menos aproximados y requieren que el FTApero corte el dieléctrico un poco mas largo para experimentalmente después hallar la medida correcta para su LNB.
INGENIERIA INVERSA SOBRE EL DIELECTRICO DOBLE FLECHA:
Hemos visto el calculo de dieléctricos aproximados, entendiendo que calcular con mas precisión es un esfuerzo que se ve frustrado al usar una sierra para cortar el material. Ahora bien, hace años se hablaba de un dieléctrico doble flecha para banda C y eso despertó la construcción de muchos polarizadores de diferentes medidas. En el blog hace unos 16 años se publico acerca de el, en LEEME
Ahora, a la luz de los cálculos que hemos visto, te preguntaras si es posible realizar una ingeniería inversa sobre este dieléctrico de banda C y saber si estaba bien calculado. La respuesta es: Sí, es perfectamente posible hacer ingeniería inversa sobre una placa dieléctrica cualquiera. El proceso consiste en medir físicamente todas sus dimensiones, identificar el material y luego recorrer el camino matemático a la inversa para comprobar si el desfase teórico resultante da exactamente 90 grados o (pi/2) radianes).
Tomamos el dieléctrico comentado en el Blog, Largo total del dieléctrico incluyendo las puntas 145mm, ángulo de las puntas en cada extremo 55 grados (interiores de 35 grados), ancho de 60 mm, 6 mm de espesor de la placa de plexiglás. es para banda C.
Y solo por curiosidad, después de "entrenar" a la IA con cálculos de dieléctricos, consulté a la IA a ver que puede analizar sobre este dieléctrico doble flecha.
La respuesta de la IA: "Esta placa dieléctrica está subcalculada, ya que según las leyes del electromagnetismo genera un desfasaje estimado de entre 54 y 60 grados, quedando lejos de los 90 ideales necesarios para una polarización circular perfecta".
Pregunto a la IA, Lo que comentas, qué consecuencias tiene en la práctica?
"Si colocamos esta placa en el LNB, el desfasaje incompleto (aprox. de 54 grados) provocará que la señal circular no se transforme en una línea limpia. sufrirán cierto "Crosstalk" (interferencia de polaridad): los canales de polarización circular derecha (RHC) se mezclarán con los de la izquierda (LHC), provocando pixelaciones, pérdida de transpondedores débiles o la imposibilidad de enganchar la señal".
Vuelvo a preguntar: Se pueden hallar Soluciones ?
"Si no puedes agrandar el largo del dieléctrico por falta de espacio en el iluminador, la solución empírica ideal es cambiar el material de la misma a Teflón o Polietileno de alta densidad (HDPE) de unos 10 mm de espesor, lo que compensará la falta de longitud sin introducir las pérdidas de señal del acrílico".
La solución es cambiar de dieléctrico por uno de teflón y de mayor espesor.
De las respuestas de la IA, deduzco en principio que el dieléctrico "punta de flecha" pudo ser originariamente de teflón. Después por el efecto del "teléfono descompuesto", se fue alterando el material y hasta las dimensiones. La IA sugiere que el mismo diseño y tamaño del dieléctrico pero usando teflón de 10 mm podría funcionar mejor. Después de eso hago otras preguntas como para curiosear un poco mas, pero es posible que el dato que no teníamos de ese dieléctrico del pasado, es que para tener esas dimensiones debería ser de teflón y de unos 10 mm de espesor.
Pregunté además a la IA por un dieléctrico generico de banda C:
La IA responde:
Dimensiones finales de la placa de Teflón:
Para lograr los 90° (1.5708 rad) de forma limpia y eficiente, la geometría de corte ideal es la siguiente:
Ancho: 60 mm (exactamente igual para que asiente perfecto en el feed).
Espesor: 6 mm (en Teflón puro o Polietileno HDPE).
Longitud del cuerpo central plano: 7.4 cm (74 mm).(Este tramo recto absorbe unos 30.5 grados del desfase).
Profundidad de las puntas en flecha: 3.0 cm (30 mm) en cada extremo.(Al medir 30 mm, las puntas actúan como transformadores de un cuarto de onda (lambda_g/4), eliminando los rebotes y aportando los 59.5 grados restantes para conseguir los 90° perfectos).
Ángulo del vértice de las puntas: 90° (un corte limpio en escuadra).
Medida total de corte: Debes cortar un rectángulo inicial de 13.4 cm de largo total (134 mm) por 60 mm de ancho, y luego rebajar las puntas en flecha hacia el centro con una profundidad de 30 mm en cada lado.
Pregunta: y si se hace de DHPE, el plastico blanco de tablas de picar carne ?
Respuesta de la IA:
Dimensiones de corte para HDPE (6 mm de espesor)
Ancho: 60 mm (ajuste justo para el diámetro del feed).
Espesor: 6 mm.
Longitud del cuerpo central plano (recto): 6.6 cm (66 mm).
Profundidad de las puntas en flecha: 2.8 cm (28 mm) en cada extremo.
Ángulo del vértice de la flecha: 94° (un corte sutilmente más abierto que una escuadra perfecta de 90°).
Medida del bloque inicial para cortar: Se debe recortar un rectángulo de 12.2 cm de largo total (122 mm) por 60 mm de ancho. Luego, marcar los 28 mm desde cada extremo hacia el centro para guiar el corte en flecha.
Fascinante, diría el Sr Spock, ver a la IA calculando dieléctricos de Banda C aproximados !!!. Espero que no me haya sanateado (mentido), porque a veces cuando no tiene datos suficientes o soluciones, sanatea y no se pone colorada de vergüenza, solo se disculpa levemente y sigue como si nada.
Todos estos comentarios que les hago, son para expresar lo difícil que es para un FTApero el calculo optimo de un dieléctrico perfecto. El dieléctrico es mas que un "pedazo de plástico" dentro del feed. las ondas de TV lo atraviesan y si no esta correctamente diseñado, calculado y colocado, atenuara las señales que nos interesa recibir. Lo que sucede dentro del feed cuando colocamos ese dieléctrico supera nuestra imaginación. Si pudiésemos ver lo que pasa dentro del feed y las variables que lo producen, entenderíamos mejor porque es tan complejo calcularlo y el FTApero solo hace cálculos aproximados para no entrar en cálculos de alta matemática que no manejamos todos los días y al final, después de calcular todo, tomamos una sierra y la precisión de corte, con suerte, es de 1 mm. Ese milímetro cuenta. en microondas cada dimensión cuenta. y las dimensiones son pequeñas en decimas de milímetro.
A los que no entienden las formulas, reemplacen los datos en las formulas por los suyos y hagan asi la cuenta. cambien la frecuencia, el espesor, el material aunque no entiendan totalmente las ecuaciones.
Mas adelante intentaré hacer un programa en Clipper/Harbour para que les alivie el calculo del dieléctrico aproximado. recuerden que es un calculo aproximado. tengan siempre la lima a mano para hacer ajustes finos en los dieléctricos y a las dimensiones sugeridas, agreguen algunos milímetros para hacer el ajuste fino final.
Espero que el Articulo sea de utilidad para todos los FTAperos. Si alguien consigue cálculos de dieléctricos para polarizadores con mayor precisión, y que se pueda explicar de una manera razonable sin entrar en alta matemática, son bien recibidos.
Saludos Cordiales
FTApinamar


















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