Hoy en dia, si deseamos conocer la distancia a un satelite geoestacionario, un dato interesante para calcular una carona, por ejemplo, simplemente vamos a la pagina de www.dishpointer.com y entre los datos de apuntamiento, aparece la distancia aproximada desde nuestra estacion hasta el satelite, en kilometros. Es lo bueno de tener internet y que funcione cuando la necesitamos...
Pero, que tal si un dia esa pagina deja de funcionar ?, que tal si cuando mas lo necesitamos, no hay acceso a la pagina ?, En ese caso, tenemos que saber como y estar preparados para realizar el calculo manualmente o ayudados por una planilla excel o un programa de calculo.
Por esa razon, hoy veremos como se calcula esa distancia al satelite basado en algunas formulas que nos dan ese resultado con cierta aproximacion dado que la tierra no es una esfera perfecta.
Para calcular la distancia, necesitaremos la longitud y latitud del punto en la superficie de la Tierra (ubicacion de nuestra estacion satelital), la latitud y la Altitud del satélite en órbita geoestacionaria.(la longitud no es necesaria porque vale cero).
La órbita geoestacionaria se encuentra a una altitud de aproximadamente 35,786 kilómetros sobre el ecuador de la Tierra. Por lo tanto, la distancia desde el punto en la superficie hasta el satélite será la suma de la distancia desde el centro de la Tierra hasta el punto en la superficie y la altitud del satélite.
Para calcular la distancia desde el centro de la Tierra hasta el punto en la superficie, necesitaremos conocer el radio de la Tierra, que es de aproximadamente 6,378 kilómetros dado que para los polos es de 6,356.8 km y para la zona ecuatorial es de 6,378.10 km por eso algunos sitios toman 6371 como valor promedio, pero en nuestros calculos tomamos 6378. Por lo tanto desde el centro de la tierra hasta el satelite la distancia de calculo estimada es de 42164 km.
Un punto importante del calculo es que el resultado se acerque al valor informado por la pagina de dishpointer, dado que circulan algunas formulas por internet que dan otros valores mucho (pero mucho) mas bajos o mas altos y obviamente no son compatibles con los valores buscados.
Asi que tiempo atras sali a "la caceria" de formulas de este tipo por internet y por toda bibliografia satelital disponible, encontrando algunas que se acercan bastante a los valores de dishpointer y tomando estas como referencia util, para el hobby del fta. tambien consulte chatGPT y lo desechè por fabulero. La verdad que hay veces que uno no sabe si esa IA disfruta tomandole el pelo a uno, porque es bastante versera, te muestra formulas como si supiera... hasta que se le dice que esta equivocada y a veces entonces se encamina en el calculo y otras te sigue verseando como politico en campaña. Si algo aprendio de los humanos es a chamullar, versear, fabular... Asi que me fuì a la fuente, a los viejos y olvidados libros y ahi encontrè muchas respuestas.
Para estar seguro de los resultados, realicè una tabla en excel 2007 de todos los satelites visibles desde argentina y con los valores y los calculos de cada formula desde Pinamar y ademas la comparativa de los valores de dishpointer para tener una referencia cierta y ver si los valores de las formulas se mantenian similares en todo el cinturon de clarke o se disparaban en algun momento. Como ven, en el back-end de preparar un post en el blog, no es solo cuestion de cute/paste y listo. Hay que chequear los datos, hacer calculos a mano y con excel.Eso lleva su tiempo.
Despues de casi 2 meses de "rumear" el articulo (de pensarlo y darle forma), elegì 5 formulas que permiten calcular la distancia al satelite donde dos de las cuales son similares por eso dan el mismo resultado, asi que en realidad bien podemos considerar que son 4 las formulas a emplear en este blog y que voy a tomar para el programa caldistsat que mas adelante va a publicarse.
Todas las formulas emplean dentro de su estructura, estos calculos previos que llamaremos FOR1 y FOR2 para identificarlos.
FOR1 = COS((LONG_SAT - LONG_EST))
FOR2 = COS((LAT_EST))
ATENCION con FOR1 y FOR2:
al ingresar los valores de long:sat, lat_est y long_est tener en cuenta que se deben ingresar con signo negativo o positivo segun la ubicacion.
es negativo cuando la longitud es West, para East seria positivo.
es negativo cuando la latitud es Sur, para North seria positivo
Cos(), es el coseno del angulo y SQRT() es la raiz cuadrada.
FORMULA1 = 42164 * SQRT(1,02288 - 0,302536 * FOR1 * FOR2)
FORMULA2 = SQRT((35786 * 35786) + (2 * 6378 * (35786 + 6378) * (1 - (FOR2 * FOR1))))
FORMULA3 = 35786 * SQRT(1,4199 - (0,4199 * FOR2 * FOR1))
FORMULA4 = 42644 * SQRT((1 - (0,2954 * FOR2 * FOR1)))
FORMULA5 = SQRT((6378 * 6378) + ((6378 + 35786) * (6378 + 35786)) - (2 * (6378) * (6378 + 35786) * FOR1 * FOR2) )
como se observa, FOR1 y FOR2 son dos calculos que se emplean en todas las formulas de calculo. FOR1 es el coseno de la resta entre la longitud del satelite o lo que llamamos posicion orbital y la longitud de la estacion satelital. FOR2 es el coseno de la latitud de la estacion satelital.
Luego podemos elegir una de las 5 formulas expuestas para hacer el calculo manual o emplear cuatro de ellas (del 1 al 4) y elegir el resultado que mas convenga.
Proximamente como es costumbre, se publicara el programa que realiza el calculo por las cuatro principales, pero mientras tanto, los que desean calcular usando excel 2007 en castellano, aqui les doy tambien la version de las formulas adaptadas al excel recordando que calcula en radianes y no en grados, por eso en el calculo se debe realizar la conversion. Si usan un excel version en ingles seguramente las ordenes de radianes(), raiz() y cos() pueden aparecer como radians(), sqrt() y cos() y puede que se emplee el punto como separador decimal, debiendo entonces corregir en las formulas, la coma por el punto. Usè excel 2007 porque aun usando windows 10 sigue siendo muy buena planilla para el hogar y de uso menos complicado que las mas recientes.
En este caso FOR1 y FOR2 ocuparan 2 celdas de la planilla de calculo y conviene que los datos de long_sat, long_est y lat_est ocupen las 3 primeras celdas, asi se referencian a ellas en el calculo y se pueden modificar facilmente sus valores para diferentes calculos.
Por Ejemplo: satelite Arsat-1 , 71,8w, estacion en Pinamar.
Recuerden que en la version latina de excel, se emplea la coma como separador decimal y no el punto.
A1 hasta K1 son las celdas de la planilla en excel que ocuparemos para el calculo.
A1 = longitud del satelite = -71,8
B1 = latitud de la estacion = -37,1146
C1 = longitud de la estacion = -56,8607
es negativo porque la longitud es West, para East seria positivo.
es negativo porque la latitud es Sur, para North seria positivo
D1 =COS(RADIANES(A1 - C1))
E1 =COS(RADIANES(B1))
F1 =42164 * RAIZ(1,02288 - 0,302536 * D1 * E1)
G1 =RAIZ((35786 * 35786) + (2 * 6378 * (35786 + 6378) * (1 - (D1 * E1))))
H1 =35786 * RAIZ(1,4199 - (0,4199 * D1 * E1))
I1 =42644 * RAIZ((1 - (0,2954 * D1 * E1)))
J1 =RAIZ((6378 * 6378) + ((6378 + 35786) * (6378 + 35786)) - (2 * (6378) * (6378 + 35786) * D1 * E1) )
Si todo fue bien copiado (puedes copiar las formulas desde el blog a cada celda de excel comenzando desde el signo "=" en adelante), en K1 escribimos el valor 37474 que es el calculo de dishpointer para comparar y los resultados deberian ser:
A1 = -71,8
B1 = -37,1146
C1 = -56,8607
D1= 0,96619948
E1= 0,79743019
F1= 37471,0374
G1= 37471,1296
H1= 37470,8106
I1= 37478,2587
J1= 37471,1296
K1=37474
Luego modificando la ubicacion del satelite geoestacionario en la celda A1 podremos calcular la distancia para cualquier otro satelite, siempre desde nuestra estacion. Y modificando B1 y C1 por otros valores podremos calcular la distancia desde cualquier parte del planeta.
Parece facil no es cierto?. Bueno espero que les sea util para el hobby y para conocer como se calculan estos valores. Los menos ansiosos pueden esperar el programa caldistsat para windows 7/10 que mas adelante se publicarà para beneficio de los lectores del blog.
Saludos Cordiales
FTApinamar
Has hecho un gran trabajo comparando todos estos valores y los resultados de las ecuaciones. ¡Buena presentación!
ResponderBorrarDos observaciones:
Primero, con mi propia calculadora 'dishpointer-like', calculo con el radio del cinturón de Clarke de 42164, y el radio (medio) de la Tierra de 6371 (que creo que es probablemente más cercano a la distancia de uno al centro de la Tierra, que el radio en el ecuador; así que pensaría que esta es la mejor opción).
Cuando comparo mis resultados con dishpointer, parece que dishpointer probablemente utiliza el radio de la Tierra 6374. Usando el radio 6374, obtuve resultados (¿casi?) idénticos a los de dishpointer. (Sin embargo, hace mucho tiempo que hice la prueba y llegué a esta conclusión).
¿Has probado también con radio terrestre 6374, en tus cálculos, para comparar con los resultados del dishpointer?
En segundo lugar, miré a los cinco de sus fórmulas. En primer lugar, en tus ecuaciones "idénticas" 2 y 5, he sustituido todos los valores de radio tierra y radio clarkebelt (y el valor de su diferencia) por los nombres de las variables rTierra, rCBelt (y rCB - rE). Estas dos ecuaciones son correctas, por supuesto.
Luego derivé tus ecuaciones 2 y 5 a una forma como la de las fórmulas 1, 3 y 4. Sustituyendo de nuevo las variables rE y rCB por sus valores, obtuve los números exactos de tus fórmulas 1, 3 y 4, aunque a veces con algunos pequeños errores de redondeo.
Así que mi conclusión es, que matemáticamente, las 5 fórmulas son esencialmente perfectamente iguales.
Saludos, A33
Traducido de:
Well, you have done a lot of work, with comparing all these values and equation outcomes. Nice presentation!
Two remarks:
First, with my own 'dishpointer-like' calculator, I calculate with clarke belt radius of 42164, and (mean) earth radius of 6371 (which I think is likely closer to one's distance to the center of the earth, than the radius at the equator; so I would think this is the better choice).
When I compare my outcomes with dishpointer, it looks like dishpointer probably uses earth radius 6374. Using radius 6374, I got (almost?) identical outcomes to the dishpointer outcomes. (It was a long time ago, that I tested and concluded this, though.)
Have you also tested with earth radius 6374, in your calculations, to compare to the dishpointer outcomes?
Second, I looked at all five of your formulas. First, in your 'identical' equations 2 and 5, I replaced all values for radius earth and radius clarkebelt (and the value for their difference) by variable names rEarth, rCBelt (and rCB - rE). These two equations are correct, of course.
Then I derived your equations 2 and 5 to a form like that of the formulas 1, 3 and 4. Replacing the variables rE and rCB by their values again, gave the exact numbers in your formulas 1, 3 and 4, though sometimes with some small rounding errors.
So my conclusion is, that mathematically, all 5 formulas are essentially perfectly equal.
Greetings, A33
Hola A33 gracias por tomarte el tiempo de hacer los chequeos de las formulas y los resultados. yo por mi parte he subido a internet la omagen de los calculos considerando el diametro medio de la tierra como 6371, 6374, 6376 y la de 6378 para que puedas ver las diferencias en numeros. creo que siguen siendo resultados aproximados en mas o en menos.
Borrarhttps://www.mediafire.com/file/4zhswmsj6mi0fre/pruebas_diferentes_diametros_de_la_tierra.rar/file
Abrazo y gracias.
FTApinamar
Hello A33, thanks for taking the time to check the formulas and the results. I, doing my homework, have uploaded the image of the calculations to the internet considering the average diameter of the earth as 6371, 6374, 6376 and 6378 so that you can see the differences in values. I think they are still approximate results in more or less values.
Borrarhttps://www.mediafire.com/file/4zhswmsj6mi0fre/pruebas_diferentes_diametros_de_la_tierra.rar/file
Greetings
FTApinamar
Entonces, ¿significaría que mi conclusión de que dishpointer probablemente utiliza 6374 como radio terrestre no es del todo cierta, para tus ejemplos?
BorrarSin embargo, me sorprende un poco que las fórmulas 2 y 5 ya no den resultados idénticos en tus cálculos de 6371 y 6374. Además del radio tierra, ¿no cambiaste también el valor de (radio cinturón clarke menos radio tierra)?
Para una prueba extra probé con Pinamar, Latitud: -37.1146°, Longitud: -56.8607° para el satélite 55.5W.
Dishpointer da 37282;
radio 6374 con mi propia calculadora (igual que en el método 2 y 5) da también 37282 (37281,73);
tu tabla (6374) da 37277,16.
Así que no estoy seguro de cómo has hecho tus tablas de radios variables.
Mi conclusión seguiría siendo: las ecuaciones 2 y 5 son correctas. Y en esas ecuaciones puedes elegir el valor de radio tierra (y radio cinturón clarke menos radio tierra) que quieras.
Saludos, A33
Traducido de:
So, it would mean that my conclusion of dishpointer probably using 6374 as the earth radius is not quite true, for your examples?
However, I am a bit surprised that formulas 2 and 5 now don't give identical outcomes anymore in your 6371 and 6374 calculations. Apart from the radius earth, did you not also change the value of (radius clarke belt minus radius earth)?
For an extra test I tried Pinamar, Latitude: -37.1146°, Longitude: -56.8607° for satellite 55.5W.
Dishpointer gives 37282;
radius 6374 with my own calculator (same as in method 2 and 5) gives also 37282 (37281.73);
your table (6374) gives 37277.16.
So I am not sure how you made your variable radius tables.
My conclusion would still be: equations 2 and 5 are correct. And in those equations, you can choose the radius earth value (and radius clarke belt minus radius earth) that you want.
Greetings, A33
Hola
Borrar... Y si dishpoiter utiliza una tabla de radios según la región del planta en que esta la estación terrena y el satélite. Hoy en día no es algo descabellado pensar o utilizar lo que he comentado y puede que pongan una fórmula para dejar tranquilos a los curiosos.
Saludos
"Esa es una pregunta sin repuesta mi amigo", no sabemos cual es su metodo de calculo pero si miràs detenidamente... en 36000 a 42000 km el "error" o diferencia obtenida es de apenas unos muy pocos kilometros contados con los dedos, asi que practicamente los calculos son viables tanto usando estas formulas como usando dishpointer. sucede que a veces se busca la perfeccion matematica, el calculo exacto, la explicacion coherente, el resultado identico que complace a todos... pero lo obtenido es suficiente para que los calculos den resultados muy confiables.
Borrares posible que ellos usen diferentes diametros de la tierra para su calculo, pero haciendo ingenieria inversa podriamos saber que diametro terrestre emplearon para un satelite determinado. basta con comprobar la formula para diferentes diametros.
saludos.
A33
BorrarA continuacion adjunto la planilla de calculo con las formulas para que se modifiquen los datos del radio terrestre y se puedan hacer todas las pruebas necesarias.
Saludos Cordiales, FTApinamar
https://www.mediafire.com/file/czmfmya4wo7s0wb/calculo_distancia_6374.rar/file
A33,
Below I attach the calculation sheet with the formulas so that the data of the terrestrial radius can be modified and all the necessary tests can be carried out.
Greetings,FTApinamar
https://www.mediafire.com/file/czmfmya4wo7s0wb/calculo_distancia_6374.rar/file
Esta sería la hoja de cálculo del radio 6378.
BorrarAsí que no muestra por qué usted obtuvo un resultado diferente para el radio 6374 que yo, al calcular el equivalente para los resultados dishpointer.
Pero ya he dado mi punto de vista, supongo.
Saludos, A33
Traducido de:
This would be the radius 6378 spreadsheet.
So it does not show why you got a different outcome for radius 6374 than I did, when calculating the equivalent for the dishpointer outcomes.
But I've made my point, I guess.
Greetings, A33
Hola A33,
Borraraqui tienes la planilla modificada para 6374
https://www.mediafire.com/file/rtn5gfdqzwgjfpt/calculo_distancia_6374_modificada.rar/file
siendo la diferencia de pocos kilometros a 6378 km el calculo trabaja perfectamente para fta aunque a algunos matematicos les produzca dolores de estomago.
saludos cordiales
FTApinamar
Hello A33,
Here you have the modified form for 6374
https://www.mediafire.com/file/rtn5gfdqzwgjfpt/calculo_distancia_6374_modificada.rar/file
Being the difference of a few kilometers to 6378 km, the spreadsheet works perfectly for fta even if it gives some mathematician stomach aches
Greetings
FTApinamar
Es lo que me temía: además del radio tierra, no cambiaste también el valor de (radio cinturón clarke menos radio tierra).
BorrarAsí que no hiciste bien el cálculo del radio 6374, por lo que a mí respecta.
¿Por qué sería importante?
a. Usted utiliza el valor de distancia de dishpointer.com como un valor de referencia importante. Y tienes razón: es, de hecho, una referencia no tan mala, para estar cerca. Cuando estés lejos, tendrás algo que explicar.
b. Aun así, cuando se obtienen valores de distancia diferentes con el cálculo de dishpointer y con el cálculo propio, es importante intentar comprender por qué se ha producido esto; ya que "comprender" por qué se producen diferencias como éstas es un objetivo importante de su blog, creo yo.
Mi hipótesis (dishpointer probablemente utiliza el radio 6374 para sus cálculos) lo explicaría todo.
Pero no creo que 6374 sea el mejor valor, para calcular (como he explicado antes).
Y dishpointer.com no es de ninguna manera una autoridad máxima; tiene otras deficiencias, diría yo.
Traducido de:
It is what I feared: apart from the radius earth, you did not also change the value of (radius clarke belt minus radius earth).
So you didn't do the radius 6374 calculation properly, as far as I am concerned.
Why would that be important?
a. You use the dishpointer.com distance value as an important reference value. And you are right: it is, indeed, a not-so-bad reference, to be close to. When you are far off, you'd have something to explain.
b. Still, when you get different distance values with the dishpointer calculation and your own calculation, it is important to try to understand why that came about; as 'understanding' why differences like these occur is an important goal of your blog, I would think.
My hypothesis (dishpointer likely uses radius 6374 for its calculations) would explain it all.
But I don't think 6374 is the best value, to calculate with (as I explained earlier).
And dishpointer.com is by no means an ultimate authority; it has other shortcomings, I would say.
Greetings/Saludos, A33.
hola A33
Borrarcambie algunos parametros que eran evidentes pero no tengo la informacion de como es la composicion parametro a parametro de la formula y de donde obtienen cada numero. si vos lo sabes, pasame la informacion ya que me interesa saber su origen y composicion. mientras tanto seguiremos usando las formulas tal como las conocemos hasta encontrar algo mejor. siempre con el tiempo se encuentra algo mejor o mas aproximado.
saludos cordiales
FTApinamar
hello A33
I changed some parameters that were obvious but I don't have the information about the parameter-by-parameter composition of the formulas and how they get each number. If you know it, give me the information since I am interested in knowing its origin and composition. meanwhile we will continue to use the formulas as we know them until we find something better. always as time goes by something better or more approximate is found.
Greetings
FTApinamar
Como deepl.com a veces no "traduce" las ecuaciones sin error (como ya he notado otras veces), esta vez no hay traducción al español...: ¡Sólo en inglés!
BorrarAs deepl.com sometimes doesn't "translate" equations without error (as I have noticed before), no spanish translation this time...: Just in english!
The derivation of the equations to calculate the distance to clarke belt satellites can for instance be found on the Charles Macfarlane/JaveJive website: https://www.macfh.co.uk/JavaJive/AudioVisualTV/SatelliteTV/SatelliteAnalysisFixed.html
You need the formula for distance OS on that webpage (Show Maths):
SO² = Rc² + Re² - 2.Rc.Re.Cos(OES)
and: Cos (OES) = Cos(OES') = Cos(DLong).Cos(Lat)
so: SO² = Rc² + Re² - 2.Rc.Re.Cos(DLong).Cos(Lat)
So here is FORMULA5 already:
SO = SQRT ( ( rE^2 ) + ( rCB^2 ) - (2 * rE * rCB * FOR1 * FOR2) ).
FORMULA2: SO = SQRT ( (rCB-rE)^2 + (2 * rE * rCB) * (1 - (FOR2 * FOR1)) )
This formula can easily be derived to formula5.
FORMULA1: SO = rCB * SQRT ( 1 + (rE/rCB)^2 - ( 2 * (rE/rCB) * FOR1 * FOR2) )
is a form like formula5 where rCB is worked out of the SQRT-part.
FORMULA3: SO = (rCB-rE) * SQRT ( 1 + (2*rE*rCB/((rCB-rE)^2)) - (FOR2 * FOR1 * (2*rE*rCB/((rCB-rE)^2))) )
This formula can be derived from formula2, with (rCB-rE) worked out of the SQRT-part.
A shorter form for formula3 would be:
SO = (rCB-rE) * SQRT ( 1 + (2*rE*rCB/((rCB-rE)^2)) * (1 - (FOR2 * FOR1) ) )
Formula4 can be derived from formula3, bringing (1 + (2*rE*rCB/((rCB-rE)^2))) also out of the SQRT-part:
FORMULA4: SO = (rCB-rE) * (1 + (2*rE*rCB/((rCB-rE)^2))) *
SQRT( 1 - ( (2*rE*rCB/((rCB-rE)^2)) / (1 + (2*rE*rCB/((rCB-rE)^2))) * FOR2 * FOR1) )
So, all kinds of equations are possible, and they are all perfectly equivalent.
The relevant input values are rCB, rE, Lat and DLong.
This means when you would change the value of rE, but rCB stays always the same, that you should also change the value for (rCB-rE)! That was what you (FTAPinamar) forgot, in the rE=6374 calculation (and probably elsewhere, too?).
I hope I haven't overseen a missing bracket or used one or more brackets too many in all these formulas... :-). But all the applied derivations are rather basic maths, so I guess most of you should be able, with a bit of effort, to check that yourself.
Saludos, A33
I forgot a SQRT in formula4! (Sorry!)
BorrarCorrected formula:
FORMULA4: SO = (rCB-rE) * SQRT (1 + (2*rE*rCB/((rCB-rE)^2))) *
SQRT( 1 - ( (2*rE*rCB/((rCB-rE)^2)) / (1 + (2*rE*rCB/((rCB-rE)^2))) * FOR2 * FOR1) )
All formulas now give the exact same results.
Greetings, A33
Gracias A33,
Borrardelicioso cafè mediante, veremos esas formulas y evaluaremos.
saludos cordiales
FTApinamar
Thanks A33,
drinking a delicious coffee, we will evaluate those formulas.
Greetings,
FTApinamar
So, to compare all the values, using rCB = C5, and rE = C6 (in a spreadsheet of mine):
BorrarFormula 1, ( 1 + (C6/C5)^2) is approximately 1,02288.
and ( 2 * (C6/C5)) is approximately 0,302536.
Formula 3, (2*C6*C5/((C5-C6)^2)) is approximately 0,4199.
(1,4199 is evident, then.)
Formula 4, (C5-C6) * SQRT(1 + (2*C6*C5/((C5-C6)^2))) is approximately 42644.
and ( (2*C6*C5/((C5-C6)^2)) / (1 + (2*C6*C5/((C5-C6)^2)))) is approximately 0,2954.
So formula 1, 3 and 4 have rounding errors, and/or used specific input variables for rE and rCB.
I see no need to use other values than rE(mean)=(C6)=6371 and rCB=(C5)=42164.
Greetings, A33
Hola A33,
Borrarjustamente estaba por preguntarte si conocias el origen de los valores de algunos parametros que aparecen como fijos en las formulas pero evidentemente se obtuvieron del calculo matematico, como 1,02288 y 0,302536 o 0,4199 y 1,4199 o 0,2954, pero escribiste respondiendo de manera anticipada a esa pregunta.
esos valores no pueden modificarse si no se conoce su composicion y su origen, entendiendo lo que matematicamente se hace.
muchas gracias
saludos cordiales
FTApinamar
Hello A33,
I was just about to ask you if you knew the origin of the values of some parameters that appear as fixed in the formulas but were obviously obtained from mathematical calculation, such as 1.02288 and 0.302536 or 0.4199 and 1.4199 or 0.2954, but you wrote responding to that question in advance.
These values cannot be modified if their composition and origin are not known, understanding what is done mathematically.
thank you so much
Greetings
FTApinamar
Exactamente. Aunque las fórmulas parezcan diferentes, se reducen a fórmulas exactamente iguales/equivalentes, utilizando sólo entradas numéricas ligeramente diferentes.
BorrarSaludos, A33.
Traducido de:
Exactly. Though the formulas appear different, they come down to exactly equal/equivalent formulas, using just slightly different numerical inputs.
Greetings, A33.
para todos los terraplanistas que la miran por IPTV!!
ResponderBorrarIPTV = "imaginary plain terra virtual"
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