Dielectricos Aproximados (4)

 Dielectricos Escalonados

Simétricos y Asimétricos:

Ahora que entramos en el tema de los dielectricos, no podemos dejar de hablar de los dielectricos escalonados que son una version final de dielectrico, tal como los doble flecha, aunque no es siempre el mismo calculo.  Calculamos primero el dielectrico rectangular, empleando las formulas que hemos visto al hablar de los dieléctricos. esa es la base del calculo. El punto de partida. De allí puede volverse al final un doble flecha, flecha simple, escalonado simple, doble escalonado, etc.

Tomemos entonces el calculo de un dieléctrico rectangular de Ku que vimos en artículos anteriores. Lo repetimos aquí solo para reunir la información en un solo articulo. 

Para calcular teóricamente las dimensiones de la placa dieléctrica, debemos recurrir a las ecuaciones de propagación de ondas en guías de onda cilíndricas (que es la forma común del feed de un LNBF).El objetivo matemático es lograr que la componente del campo eléctrico que viaja paralela a la placa se retrase exactamente 90 grados (pi/2 radianes) respecto a la componente que viaja perpendicular a ella. Aquí se explicarán las fórmulas fundamentales y el procedimiento físico para calcular el desfasaje.

Si usamos como material dieléctrico una "tabla de picar carne" (polietileno), se puede estimar el Eeff perpendicular en 1.50, siendo generosos, dado que su Er es de 2.3. la otra componente en cambio se mantiene igual 1.03. lambda_G.aire= 29.76 mm y Bsin= 0.211 rad/mm. Si en cambio usamos acrilico (Er=2.7) Eeff será de 1.65 y seguramente el polarizador será de 19.8 mm de largo.

Calculo de un dielectrico para banda Ku de Polietileno:

Frecuencia (F): 11700 mhz o 11,7 ghz

Velocidad de la luz: 300.000 mm/s

Diametro del Feed: 28 mm

Espesor del dielectrico: 4mm

Material: Polietileno

Permitividad relativa (Er):  2.3

Permitividad efectiva:(Eeff) 1.50

lambda_0= 25.64 mm

lambda_C= 47.776 mm

Eeff.perp= 1.03

Eeff.par= 1.50

lambda_g.aire= 29.766 mm

lambda_g.diel= 23.29 mm

Bsin= 0.211 rad/mm

Bcon= 0.270 rad/mm

delta_Bdif= 0.059 rad/mm

L=26.6 mm 

La Guia de Ondas Vacia:

Longitud de Onda en el Espacio Libre

calculo en el centro de la banda:

lambda_0=C/F = 300000/11700 = 25.64 mm

Longitud de Onda de Corte (lambda_C)

para el modo fundamental TE11

es X11=1.8412 siempre

lambda_C=2*pi*R/X11 = (2 * 3.14159265 * R)/1.8412 =

lambda_C= 87.9645942/1.8412= 47.776 mm

Analisis de las dos componentes del campo

(Modo ortogonal): cuando una onda circular entra

en el polarizador, su campo electrico se descompone

en dos vectores perpendiculares entre si.

La componente paralela (Epart) y la componente

perpendicular (Eperp).

Componente Perpendicular (modo sin dielectrico)

una barra de polietileno de 4mm tiene una permitividad

efectiva menor de Eeff_perp= 1.03

la ecuacion de la longitud de onda en la guia es:

lambda_G.aire= lambda_0 /SQRT(Eeffper - (lambda_0 / lambda_C)^2))

lambda_G.aire= 25.64/SQRT((1.03 - (25.64/47.77)^2))

lambda_G.aire= 25.64/SQRT(1.03 - 0.288)

lambda_G.aire= 25.64/SQRT(0.742) =25.64/0.86139 = 29.766 mm

Componente paralela (modo con dieléctrico)

Como se usa polietileno, es:

lambda_G.diel=lambda_0/SQRT(Eeff.par - (lambda_0/lambda_C)^2)

lambda_G.diel=25.64/SQRT(1.50 - (25.64/47.77)^2)

lambda_G.diel=25.64/SQRT(1.50 - 0.288) = 25.64/SQRT(1.212)

lambda_G.diel=25.64/1.101=23.288 =23.29 mm

Constante de propagacion (Beta):

Es el dato que nos avisa cuantos radianes de fase 

avanza la onda por cada milímetro que recorre.

Beta= 2 * pi /lambda_G

Para la componente rapída (perpendicular x aire):

Bsin= 2 * pi/lambda_G.aire = 6.2831/29.76mm = 0.211 rad/mm

Para la componente lenta (Paralela x polietileno):

Bcon= 2 * pi/lambda_G.diel = 6.2831/23.29mm = 0.270 rad/mm

Calculo de la longitud física (L)

Para lograr la polarización circular, una de sus componentes

debe retrasarse 90 grados respecto a la otra.

90 grados = pi/2 radianes = 1.5708 rad

La diferencia de fase acumulada por milimetro es:

delta_B=Bcon - Bsin= 0.270 - 0.211 = 0.059 rad/mm

de donde surge la longitud fisica L necesaria para 

acumular 1.5708 rad:

L = delta_fi/delta_B = 1.5708 rad / 0.059 rad.mm =

L = 26.6 mm

El dieléctrico rectangular es de 26.6 mm x 28 mm. Siempre lo cortamos un poco mas largo para hacer los ajustes sobre la señal , quizas de 32 mm x 28 mm.

Ahora veamos en que consiste el "escalonamiento"  

o para ser mas tecnicos, que son los llamados "stepped transformers". 

Que como veremos pueden ser simetricos o asimetricos.

ESCALONADO SIMETRICO:

Básicamente un dielectrico escalonado simetrico es un dielectrico al que se le suman de ambos extremos 1 o 2 escalones para ir reduciendo su superficie de contacto con las ondas. Esos escalones son pasos de 1/4 de onda.Es decir la alzada de la escalera es de 1/4 de onda y la pedada de la escalera es un porcentaje del ancho total del dielectrico que corresponden al 52% y al 76%. Esto es solo un porcentaje practico, no es una regla.

Para los no tan tecnicos la alzada es la altura del escalon y la pedada es donde apoyamos el pie al subir la escalera. Nuestro dielectrico tendra 1 o 2 escalones de cada extremo, basados en estos conceptos. Generalmente en banda Ku basta con un solo escalon, en banda C suele alcanzar para 2 escalones.Es que cada escalon agrega capacidad dielectrica al conjunto y puede pasar que 2 escalones superen el valor de los 90 grados de desfase necesarios, y en ese caso, el calculo debe volver a realizarse pero con solo un escalon.

Resumen de los cálculos del dieléctrico:

Frecuencia (F): 11700 mhz o 11,7 ghz

Velocidad de la luz: 300.000 mm/s

Diámetro del Feed: 28 mm

Espesor del dieléctrico: 4mm

Material: Polietileno

Permitividad relativa (Er):  2.3

Permitividad efectiva:(Eeff) 1.50

lambda_0= 25.64 mm

lambda_C= 47.776 mm

Eeff.perp= 1.03

Eeff.par= 1.50

lambda_g.aire= 29.766 mm

lambda_g.diel= 23.29 mm

Bsin= 0.211 rad/mm

Bcon= 0.270 rad/mm

delta_Bdif= 0.059 rad/mm

L=26.6 mm 

Al calcular el dielectrico en el articulo anterior, ya calculamos lambda_G.diel y lambda_G.aire. las sumamos y llamamos lambda_G.prom al resultado (lambda_G promedio) y luego dividimos por 4 el resultado. Obtenemos lambda_G.prom= 26.77 mm y lambda_G.prom/4=6.69 mm.

Pero tambien podemos hacer el calculo desde cero, considerando que el valor de Eeff.aire=1.0 y Eeff.diel=1.50, luego los promedios se calculan como Eeff.esc1= SQRT(Eeff.aire * Eeff.diel).

CALCULO DE SOLO UN ESCALON:

Calculo del Epsilon medio (Eeff.esc):

Eeff.esc1=SQRT(1.0 * 1.50)= SQRT(1.50)=1.225

Eeff.esc1=1.225

calculamos su longitud de onda en la guia y su constante de fase (B.esc1)

(lambda_0/lambda_C)^2 = 0.288

lambda_0= 25.64

lambda_G.esc1=25.64/SQRT(1.225 - 0.288)= 

lambda_G.esc1=25.64/SQRT(0.937)= 25.64/0.968=26.49 mm

calculamos el largo para 1/4 onda:

L1= 26.49/4=6.62 mm

B.esc1= 2 * pi/lambda_G.esc1 = 6.2831853/26.49 = 0.237 rad/mm

calculo de la diferencia de fase (delta.B1)

delta.B1=B.esc1 - B.sin= 0.237 - 0.211= 0.026 rad/mm

fase.esc1= delta.B1 * L1 = 0.026 * 6.62 = 0.172 rad

El total del polarizador debe sumar 1.5708 rad = 90 grados. calculamos entonces cuanta fase le falta aportar al cuerpo principal (L2). Es un escalón solo, pero de cada lado del dieléctrico base...

calculo del cuerpo central restante:

Fase.restante=1.5708 - (2 * 0.172)= 1.5708 - 0.344 = 1.2266 rad (es un escalón de cada lado de la placa)

como delta.B.dif= 0.059 rad/mm, es

L2=1.2266 rad/0.059 rad/mm = 20.7898 mm = 20.79 mm

la placa medirá 6.62 + 20.79 + 6.62 = 34.03 mm de largo. incluyendo el valor del escalón de cada lado del dieléctrico.

CALCULO DE DOS ESCALONES:

En este caso tenemos 2 Epsilon efectivos (Eeff.esc1 y Eeff.esc2).

Eeff.esc1= 1.0 * (1.5/1.0)^1/4 = (1.5)^0.25 = 

Eeff.esc1= SQRT(SQRT(1.5))) = 1.107

Eeff.esc2= 1.0 * (1.5/1.0)^3/4 = (1.5)^0.75 = 

Eeff.esc2= SQRT(SQRT(1.5^3)) = 1.3554

dimensiones y fases del primer escalón:

Eeff=1.107

lambda.esc1= 25.64/SQRT(1.107 - 0.288) = 

lambda.esc1= 25.64/SQRT(0.819) = 25.64/0.905 = 28.33 mm

longitud L1 = 28.33/4 = 7.08 mm

B.esc1 = 2 * pi/28.33 = 6.2831853/28.33 = 0.22178 = 0.222 rad/mm

delta.B1 = 0.222 - 0.211 = 0.011 rad/mm

fase acumulada en escalón 1:

0.011 * 7.08 = 0.07788 rad

dimensiones y fases del segundo escalón:

Eeff2= 1.355

lambda.esc2= 25.64/SQRT(1.355 - 0.288) = 25.64/SQRT(1.067) = 25.64/1.033 = 24.82 mm

longitud L2 = 24.82/4 = 6.21 mm

B.esc2 = 2 * pi/24.82 = 6.2831853/24.82 = 0.253 = 0.253 rad/mm

delta.B2 = 0.253 - 0.211 = 0.042 rad/mm

fase acumulada en escalón 2:

0.042 * 6.21 = 0.26082 rad

calculo del cuerpo central restante:

sumamos el desfase que ya conocemos de los dos escalones de entrada y salida.

fase escalones= 0.07788+0.26082=0.3387 rad

restamos de 1.5708 rad la fase de escalones contando que son dos caras.

fase.restante= 1.5708 - (2 * 0.3387) = 0.8934 rad (son 2 escalones a cada lado de la placa)

como delta.B.dif= 0.059 rad/mm, es la nueva dimension del sector central:

L.central= 0.8934 rad / 0.059 rad/mm = 15.14 mm

nuevo largo de la placa:

7.08 + 6.21 + 15.14 + 6.21 + 7.08 = 26.58 + 15.14 = 41.72 mm

UN ULTIMO CALCULO, DE LAS PEDADAS:

Ya vimos que existe un método simple de asignar (52% * D) al primer escalón y (76 % * D) al segundo escalón para obtener el largo de cada escalón y si es de un solo escalón, asignar el (52% * D).

Pero existe también un método mas realista aunque aproximado y que presento aqui. Es una interpolación lineal de la altura efectiva en función de la permitividad efectiva, tomando como extremos aire Eeff=1 y la sección completa Eeff=1.50 para este caso. Es decir, se está haciendo corresponder linealmente una fracción de la sección ocupada por dieléctrico con una fracción de la permitividad efectiva disponible. Así que la fórmula tiene sentido matemático y es una forma razonable de transformar una permitividad efectiva objetivo en una altura geométrica, siempre que aceptemos esa aproximación lineal. Y, de hecho, puede ser un mejor punto de partida que elegir arbitrariamente 52% y 76% como el largo de cada escalón.

Calculo de la altura (pedada) de un escalón:

Hesc = 28 mm * ((Eeff.esc - 1.0)/(Eeff.max - Eeff.min)) 

Hesc = 28 * (Eeff.esc - 1)/0.50

escalon 1 (pedada): 6.62 mm

Eeff= 1.225

Hesc = 28 * (1.225 - 1)/0.50 = 28 * 0.225/0.50 = 28 * 0.45 = 12.6 mm

seccion central:20.79 mm

Eeff= 1.50

Hesc = 28 * (1.50 - 1)/0.50 = 28 * 0.50/0.50 = 28 * 1 = 28 mm (ancho total)

resumen: 

tenemos un escalón de (pedada/alzada) 12.6 mm x 6.62 mm 

y el centro de 28 mm x 20.79 mm

calculo de las alturas (pedadas) para dos escalones:

escalón 1: 7.08 mm 

Eeff=1.107

Hesc = 28 * (1.107 - 1)/0.50 = 28 * 0.107/0.50 = 28 * 0.214 = 5.992 mm = 6 mm

escalón 2: 6.21 mm 

Eeff=1.355

Hesc = 28 * (1.355 - 1)/0.50 = 28 * 0.355/0.50 = 28 * 0.710 = 19.88 mm = 20 mm

sección central: 15.14 mm

Eeff=1.50

Hesc = 28 * (1.50 - 1)/0.50 = 28 * 0.50/0.50 

Hesc = 28 * 1 = 28 mm (ancho total)

resumen del calculo:

tenemos un escalón de 6 mm x 7.08 mm y otro escalón de 20 mm x 6.21 mm

y el centro de 28 mm x 15.14 mm

Ya tenemos el dato de la alzada y la pedada de cada escalón. luego sigue con 28 mm el ancho total durante el cuerpo central del dieléctrico calculado y finalmente la misma escalera pero inversa. generalmente son medidas que son difíciles de reproducir en un corte. debemos ser lo mas precisos que se pueda.

Entonces nuestro dieléctrico calculado como rectangular ahora agrega mas superficie para volverse escalonado.

La imagen muestra sus dimensiones. Estas dimensiones corresponden exclusivamente a este cálculo de demostración. Las alzadas y pedadas reales dependerán siempre de la longitud de onda guiada lambda_G, la cual varía según el material del dieléctrico y las dimensiones del feed.

todo muy lindo !!! pero ademas tenemos que chequear siempre si el material de los escalones a "agregar" al dielectrico base original no produce un desfase de la onda entrante de mas de 90 grados. si es asi, tenemos que resolver eso, reduciendo el largo del dielectrico base y si eso no alcanza o no conviene porque es muy angosto supongamos de pocos milimetros y eso no basta para sujetarlo fuerte al feed, entonces debemos recalcular todo, quitando un escalon o modificando la forma del dielectrico quitando los escalones de un lado,por ejemplo.

Sabemos que el desfase total no puede ser diferente de 90 grados o 1.5708 rad. Se restan los valores de desfase producidos por los escalones,al valor del cuerpo central y lo que queda es el valor del nuevo cuerpo central.Es asi de sencillo. Podemos darle formas caprichosas al dielectrico pero luego a la hora de analizar el desfase debe ser de 90 grados, ni mas ni menos.

Otra cosa importante a tener en cuenta es que en principio, no es una obligacion tecnica que el dielectrico sea doble-flecha o doble-escalonado. basta con que tenga una flecha hacia afuera del feed o el escalon o escalones hacia afuera del feed. no tiene porque ser simetrico. Eso acorta el dielectrico si se nos hace muy largo por causa de la doble flecha o del doble escalonado. Tengamos presente esto al hacer los calculos, especialmente los de desfases que son los que nos alertan de como es el desfase que produce el material que estamos pensando como dielectrico dentro del feed.La cara del dielectrico que va hacia las antenas internas del lnb puede ser recta, en todo caso podemos picarle a 45 grados el borde recto si sospechamos que puede ayudar.

Otra cosa a considerar es que el dielectrico rectangular deberia funcionar siempre, a lo sumo con los bordes picados en punta, a 45 grados. el doble flecha en realidad solo suaviza la entrada de las ondas, lo mismo que el escalonado.

Otro detalle, es que los dielectricos rectangulares se diseñan para una frecuencia especifica. fuera de esa frecuencia comenzaran a rendir cada vez menos, es decir a desfasar las señales cada vez menos. Si lo hacemos tipo flecha o doble flecha podemos aumentar el ancho de banda del dielectrico y si es escalonado podemos aumentar el ancho de banda aun mas. Esto es mas critico en banda Ku donde tenemos hasta 2 gHz de ancho de banda contra 0.8 gHz de ancho de banda C.

Entonces si solo lo queremos para unos TP de banda Ku ubicados proximos entre si, como es el caso del TKsat, por ahi un dielectrico rectangular resuelve el problema ya que no necesitamos un gran ancho de banda. Los TP estan cercanos. Y en banda C, suele bastar con el doble flecha o flecha sola y mas ahora que la banda C se va reduciendo de 3400-4250 mhz a 3700-4250 mhz o mas.

ESCALONADO ASIMETRICO:

El escalonado asimetrico, es, basicamente, medio escalonado simetrico. solo de un lado del dielectrico hacemos la escalera y el otro lado queda recto. las dimensiones de alzada y pedada son las mismas que para un dielectrico simetrico. El lado izquierdo del dielectrico queda plano, sin escalera. solo se recorta de un lado. Los graficos muestran sus formas. El calculo resuelve sus dimensiones.

Se indica en verde la direccion de la señal entrante al feed, especialmente cuando son escalonados simples o flecha simple, el escalon o la flecha apunta hacia afuera del feed.

CALCULO PARA UN DIELECTRICO DE BANDA C:

Finalmente vemos un dielectrico de ejemplo, para banda C. Con un diametro del feed de 60 mm. Calculamos el dielectrico de banda C como siempre, nos da 105 mm, para la frecuencia central que elegimos, y los calculos son casi los mismos que para banda Ku. La alzada es de 24.2 mm si el feed es de 60 mm de diametro. Las pedadas, para 60 mm de diametro del feed son 31.2 mm, 45.6 mm y la tercera ya es de 60 mm. Recuerden que estas dimensiones son para este calculo demo, y las alzadas de estos escalonados dependen de lambda_g la long de onda en el dielectrico, que depende del material usado y de lambda_c la frecuencia de corte. El calculo del dielectrico Lo dejo aqui para reunir la info en una sola pagina y tener todos los datos a mano.

Calculo para Banda C:

Es similar al calculo de banda Ku.  Obviamente a frecuencias menores, el tamaño es mayor y los anchos de banda tambien. Poco se dice sobre que un dielectrico responde mejor a la frecuencia de calculo y no siempre cubre toda la banda de recepcion satelital. En banda Ku eso es mas critico que en banda C.

banda: C

frecuencia central: 3950 mhz

permitividad efectiva (Eeff)= 1.275

material: HDPE (polietileno de alta densidad)

espesor: 10 mm

diametro del feed: 60 mm

Longitud de Onda en el Espacio Libre

lambda_0=C/F = 300000/3950 = 75.95 mm

Componente paralela (modo con dielectrico)

lambda_G.diel=lambda_0/SQRT(Eeff - (lambda_0/1.706*D)^2)=

lambda_G.diel=75.95/SQRT(1.275 - (75.95/1.706*60)^2)=

lambda_G.diel=75.95/SQRT(1.275 - (75.95/102.36)^2)=

lambda_G.diel=75.95/SQRT(1.275 - 0.55054)=

Lambda_G.diel=75.95/SQRT(0.72446)=

Lambda_G.diel=75.95/0.85115= 89.23 mm  96.89 mm

Constante de propagacion (Beta):

Es el dato que nos avisa cuantos radianes de fase 

avanza la onda por cada milimetro que recorre.

Beta= 2 * pi /lambda_G

constante de propagacion con dielectrico:

Bcon= 2*pi/lambda_G.diel = 6.2831/89.23 mm = 0.070415 rad/mm

longitud de onda en la guia sin dielectrico 

calculamos la guia vacia para esa frecuencia y diametro.

lambda_G.aire=lambda_0/SQRT(Eeff - (lambda_0/1.706*D)^2)=

lambda_G.aire= 75.95/SQRT(1.0 - (75.95/1.706*60)^2)=

lambda_G.aire= 75.95/SQRT(1.0 - (75.95/102.36)^2)=

lambda_G.aire= 75.95/SQRT(1.0 - 0.55054)=

lambda_G.aire= 75.95/SQRT(0.44946)=

lambda_G.aire= 75.95/0.6704 = 113.29 mm

constante de propagacion sin dielectrico:

Bsin= 2*pi/lambdaG-aire = 6.2831/113.29 = 0.05546 rad/mm

Calculo de la longitud fisica (L)

Para lograr la polarizacion circular, una de sus componentes 

debe retrasarse 90 grados respecto a la otra.

90 grados = pi/2 radianes = 1.5708 rad

La diferencia de fase acumulada por milimetro es:

delta_B=Bcon - Bsin= 0.070415 - 0.05546 = 0.014955 rad/mm

de donde surge la longitud fisica L necesaria para

acumular 1.5708 rad:

L = delta_fi/delta_B = 1.5708 rad / 0.014955 rad.mm =

L = 105.03 mm

el dielectrico rectangular base de banda C es de 105.03 mm x 60 mm de polietileno de alta densidad y de 10 mm de espesor.

Algo que no debemos olvidar, es que en microondas, al tratarse de frecuencias, se calcula la media geométrica y no el promedio matemático. cuando queremos que el dieléctrico sirva para cubrir toda la banda Ku, que es de 2 ghz, la formula a aplicar no es 10700+12700/2=11700 sino que la formula a emplear es: SQRT(Frecmin * Frecmax) = 11657 mhz

La gran ventaja del dieléctrico escalonado sobre el rectangular o el de doble flecha es su ancho de banda. En banda C la diferencia no es tan crítica porque el ancho de banda es de 600 MHz a 800 MHz como máximo. Sin embargo, en banda Ku, donde podemos tener transpondedores (TP) del satélite repartidos en banda baja, banda alta y la banda extendida por encima de los 12200 MHz contar con un diseño escalonado es clave para no perder rendimiento en los extremos de la banda. para ese caso conviene que el dieléctrico tenga 2 escalones pues eso beneficia el ancho de banda.

Aprovechando el calculo del dielectrico para banda C, en el próximo articulo veremos como calcular la permitividad del dieléctrico, que se corresponde con el espesor del mismo y como calcular si el dieléctrico desfasa correctamente y cubre toda la banda. Un tema muy importante a la hora de calcular dieléctricos para FTA.

Creo que he calculado mas dielectricos en este mes que en toda mi vida. Es que a veces los resultados  no correspondian a las espectativas . Hubo varios calculos, revisiones, elecciones de calculo, porque obviamente existe mas de un camino para llegar al final del calculo pero recien al final, se aprecian las consecuencias de cada metodo de calculo. Por ejemplo, calcular basados en el espesor de un dielectrico o calcular basados en la permitividad del material ?, a simple vista parece mas logico calcular por el espesor, pero es mejor calcular por la permitividad, aunque sea mas largo el calculo, pues la permitividad es la capacidad del material de almacenar energia y soportar campos electricos y el espesor es solo el dato de una dimension fisica. Ademas la permitividad varia segun la frecuencia de trabajo. El espesor no. Asi que no ha sido facil la resolucion de las formulas, que aun siguen siendo complejas para el comun de la gente. Seguramente un programa de computadora resolveria estos problemas en el futuro inmediato.

Saludos Cordiales

FTApinamar