PERMITIVIDAD DEL MATERIAL
por Fórmulas o por Mediciones?
EL CORAZON DEL CALCULO DEL DIELECTRICO
Este tema intenta explicar primero, porque el espesor del dieléctrico no se ve involucrado en los cálculos realizados. En todos nuestros cálculos, según el material a usar, cambia el valor de la permitividad efectiva (Eeff) porque están relacionados uno con el otro. Y a cada espesor de ese material le corresponde también una permitividad relativa diferente. La permitividad depende del material y espesor del mismo. Y podríamos decir que además varia con la frecuencia de trabajo, según sea banda C, Ku, o banda Ka. Como se ve, la permitividad es el corazón del calculo del dieléctrico. Si nos equivocamos con ella, erramos todo el calculo. Ustedes se preguntarán como puede suceder ese error ?. Y les anticipo que hay varios métodos de calculo de la permitividad en función del espesor del dieléctrico, y varios valores de la permitividad en función de la frecuencia, porque no todos los dieléctricos son iguales aunque sean del mismo material, con mas razón si usamos elementos distintos del teflón que supuestamente es el material indicado para construir dieléctricos PERO se suele vender estandarizado para feeds que no son circulares de 28 mm ni 60 mm, sino rectangulares de lnb y feed profesionales tipo flange que tienen además otras dimensiones diferentes. Entonces el FTApero se encuentra que al ser el ultimo eslabón en la fila de la cadena de microondas, tiene que resignarse a la hora de calcular un dieléctrico y hacerlo experimental.
Para modelar como cambia la permitividad efectiva (Eeff) en función del espesor de la placa dieléctrica dentro de la guía de ondas circular, se usa el concepto del "factor de llenado" pero no es el único método para intentar averiguar el valor. Er se determina en función del material PERO también de la banda de trabajo, es decir, de la frecuencia de trabajo.
Eeff= 1.0 + (Er - 1.0) * FF
donde:
1.0= permitividad del aire
Er = permitividad del material (para HDPE es Er=2.3)
FF = fracción volumétrica o del área que la placa ocupa dentro del cilindro.
para una placa rectangular de espesor T dentro de un feed de diámetro D=60 mm.
Nos basamos en el ultimo calculo del articulo anterior.
FF=(área de la placa)/(área de la guía de ondas), esto se llama fracción de llenado. que es la relación matemática entre el espesor del dieléctrico y el diámetro interno de la guía de ondas.
FF=(T * D)/(( pi * D^2)/4) =
que también se puede simplificar como:
(4 * T * D)/(PI * D^2)=(4 * T)/(pi * D)
Pero es solo un dato matemático.
T= espesor de la placa
D= diámetro del feed
FF= 4 * 60/ 3.14159265 * (60*60/4) = 240/2827.43=0.08488
Eeff= 1 + (2.3 - 1) * 0.08488 = 1 + 0.110 = 1.110
entonces si T=4 mm es Eeff= 1.110, segun el calculo.
si T= 6 mm es Eeff=1.1273, Pero si T= 10 mm es Eeff= 1.318 según el calculo.
Para el calculo correcto necesitamos conocer la permitividad del material (Er). un dato que se obtiene de internet y del cual podemos conocer la permitividad efectiva (Eeff). Es que la tan nombrada permitividad (Er) indica el valor en un feed lleno de ese material, pero el dieléctrico no llena todo el feed con su espesor, es solo una placa de x milímetros de espesor. por eso calculamos la permitividad efectiva según el caso. Entonces pasamos por una especia de selección, por tipo de material, por banda de trabajo y por espesor del material. y los resultados son aproximados, no son los exactos pues los materiales que tenemos a mano en FTA no llegaron a nuestras manos con un certificado de Er y Eeff.
No son las únicas formulas que permiten calcular la permitividad efectiva mayor (Eeff).
calculo alternativo:
Eeff= 1+((4/pi) * (T/D) * (Er - 1))
donde:
d= diámetro del feed
t= espesor placa dieléctrica
Er permitividad del material
Otro calculo alternativo:
Eeff= SQRT( Eeff.aire * Eeff.diel)
EJEMPLOS DE VALORES DE Eeff
dieléctrico de 4 mm en feed de 28 mm , Er=2.1, teflón
Resultados:
calculo 1: Eeff= 1.110
calculo 2: Eeff= 1.093
calculo 3: Eeff= 1.243 donde Eeff.aire=1.03 y Eeff.diel=1.50
Ahora prestemos atención a este detalle:
LA REALIDAD DEL VALOR DE Eeff:
En el análisis de RF de un lnb ku se mide que Eeff=1.45
y en el análisis de un lnb C se mide que Eeff=1.234
y la permitividad Eeff menor es Eeffm=1.02 a 1.03
De donde salen esos "misteriosos" valores que no aparecen en los cálculos típicos?. Cual de los valores es el correcto?, el aproximado de Eeff hallado por calculo o ese otro valor "misterioso" que aparece mencionado por internet en algunos cálculos de dieléctricos mas profesionales ?.
La realidad es que en estos cálculos, gana ese numero "misterioso". los cálculos son aproximados y matemáticamente resueltos, pero a veces parten de premisas que no siempre son reales sino supuestas. los números "misteriosos" nacen de mediciones realizadas con instrumental adecuando donde no hay posibilidad de error o de simulaciones por software, que es prácticamente lo mismo. Por eso he armado una tabla de esos valores para algunos materiales conocidos y si bien calculamos matemáticamente valores, vamos a darle importancia a los valores obtenidos de la medición electrónica, porque son la realidad y no la teoría.
Por algo los ingenieros dicen "esta bien realizar todos los cálculos, pero la realidad en microondas se conoce midiendo con instrumental adecuado". Y en este caso, las formulas aproximadas no alcanzan a representar el valor correcto de Eeff quizás porque las ondas no se reparten uniformemente dentro de la guía de ondas como pretende el calculo, sino que además lo hacen en vórtices. y la ubicación de esos vórtices es impredecible. solo se detectan mediante la medición del dieléctrico "in situ".
De todas maneras yo pretendo que se conozcan las formulas y todos entiendan el porque si alguna vez intentaron calcular los valores de un dieléctrico, los resultados obtenidos no siempre eran coincidentes con la realidad y la verdad es que los valores de calculo te pueden llevar a recortar un dieléctrico demasiado largo o corto, que se traduce en que comenzarías el proyecto con valores muy alejados de la realidad.
Nosotros como FTAperos no siempre tenemos equipamiento profesional de medición ni se justifica por un dieléctrico, así que la única solución que nos queda, es ir recortando el dieléctrico basados en la medición de señales mediante un satfinder o el receptor satelital. Usamos el método de prueba y error, donde las formulas y cálculos solo nos dan un panorama básico de las dimensiones del dieléctrico. Así que vamos a calcular estos valores de Eeff pero a ultimo momento vamos a considerar los valores reales medidos por equipamiento electrónico o por software de simulación, como los mas adecuados. Porque así son las cosas en microondas: tiene mas valor la realidad medida con instrumental o las simulaciones por software que es lo mismo, que cualquier formula aproximada, especialmente cuando hablamos de un dieléctrico cuya función es desfasar una de las ondas polarizadas circularmente. De esta manera la duda que no podemos resolver es la pureza del material que llego a nuestras manos y que obviamente modifica los valores de Er y Eeff.
La limitación que tenemos si dependemos de esta tabla, es que si deseamos emplear otros materiales fuera de los mencionados, primero tenemos que investigar los valores reales o arriesgarnos a calcularlos por formulas que ya sabemos son aproximaciones a la realidad y confiando en la información de internet. Pero en esta tabla hay varios materiales usuales que en Argentina son conocidos y algunos materiales "exóticos". creo que mas que estos materiales no vamos a usar para nuestros dieléctricos. Esta tabla solo resuelve el problema de que material elegir y que banda de trabajo, algo que es muy importante. PERO nos falta saber como calcular según el espesor, que también tiene su importancia.
En este punto, y habiendo comentado todos los cálculos aproximados mas conocidos y sus formulas, mi propuesta es que para el calculo de Er y Eeff solo se use esta tabla y para calcular el valor final según el espesor usemos el calculo que mas adelante explico, dado que estos valores surgen (en teoría) de mediciones de RF o simulaciones por software y deberían ser mas exactos que cualquier otro método. Es verdad que ningún material es exactamente igual a otro, siempre puede haber una ligera variación. Pero es lo mas practico que he encontrado hasta hoy.
En la tabla vemos los materiales tradicionales y otros un tanto "exóticos" como madera, cartón o vidrio, entre otros. Solo quiero agregar que están ahí para experimentar pero los mejores materiales son el teflón y "la tabla de picar carne" de algún plástico que figure en el listado. La fibra de vidrio es buena para banda C, pero no para Ku. En fin, recuerden que no todos los materiales funcionan bien en todas las frecuencias aunque se puedan calcular sus dimensiones y el dieléctrico entre dentro del feed. En microondas conviene usar lo conocido y dejar lo exótico para experimentos de fin de semana.
COMO CALCULAR EL VALOR DE Eeff.nuevo:
Los valores de Eeff de la tabla se obtuvieron de mediciones y/o simulaciones electromagnéticas de dieléctricos estándar profesionales que para banda C son de 5.4 a 6 mm de espesor y una guía de 54 mm WC2125, para banda Ku son de 1.75 a 2 mm de espesor y una guía de 17.5 mm WC69, para banda ka19 de 1.2 a 1.4 mm de espesor y una guía de 12.2 mm WC48/49 y para banda Ka31 de 0.8 a 0.9 mm de espesor y una guia de 7.9 mm WC31 y a estos los llamaremos "T.patron" y "D.patron" para el espesor patron y el diametro patron que fueron calculados. Así que partiendo de ese dato, podemos calcular la Eeff.nuevo que corresponde al espesor elegido para nuestro dieléctrico de espesor "T.nuevo" y de diametro del feed "D.nuevo". Luego, en la tabla, Banda Ka19 corresponde a banda Ka de 19 ghz y banda Ka31 a banda Ka de 31 ghz.
La formula para Eeff.nuevo es:
Eeff.nuevo= 1 + ((Eeff.tabla - 1) * (T.nuevo/T.patron) * (D.patron /D.nuevo)^2 )
Ejemplo para Banda Ku:
Er= 2.1
Eeff.tabla= 1.45
T.patron= 1.75 mm
T.nuevo= 3 mm
D.patron= 17.5 mm
D.nuevo= 28 mm diametro interno del lnb de ku para fta.
Eeff.nuevo= 1 + ((1.450 - 1) * (3/1.75) * (17.5/28)^2 )=
Eeff.nuevo= 1 + (0.450 * 1.714 * (0.625)^2) =
eEee.nuevo= 1 + (0.450 * 1.714 * 0.390625) = 1 + 0.3013
Eeff.nuevo= 1.3013 para un espesor de 3mm.
y el valor de EeFF.menor suele variar 1% a 2% para cuando el nuevo espesor aumente aprox el 50% o 100% del original o patrón.
Entonces Eeff.menor:
Para banda Ku Eeff.menor=1.02 para dieléctrico de 1.75 mm
Eeff.menor.nueva=1.02 + (1.02 * 1/100)= 1.02 + 0.01= 1.03 para unos 3 mm
Eeff.menor.nueva=1.02 + (1.02 * 2/100)= 1.02 + 0.02= 1.04 para unos 4 mm
Para banda Ku un dieléctrico mas grueso de unos 4 mm ya no es muy conveniente.
En Banda C sucede lo mismo, para unos 8 mm y 10 mm aproximados el valor de Eeff.menor varia entre 1.03 y 1.04.
CALCULO DE LAS DIFERENCIAS DE FASE EN LA BANDA
Una vez calculado nuestro dieléctrico con o sin "flechas" o "escalones", puede surgir la idea de como rendirá este en toda la banda C, en este caso ya que se sabe que todo dieléctrico responde bien en la frecuencia de calculo y no siempre responde así, a todas las frecuencias de la banda, especialmente en la banda Ku. Tomamos 3 frecuencias de la banda C, la mas baja, el centro y la mas alta. y calculamos los valores.
los ángulos de desfasaje van desde casi 90 grados (el desfasaje esperado) en el centro de la banda y muy poco en la banda alta de C, el mayor desfasaje es en la banda baja de C y es de unos 7.39 grados. Ese desfasaje y de hasta 10 grados se considera "aceptable". Así que nuestro dieléctrico rendirá bien en toda la banda C a pesar de esos valores.
Seguramente te preguntaras como se calcula ese desfasaje.
Se hace asi:
llamemos Delta_Beta a la diferencia de fase por milimetro
es delta_beta = Bcon - Bsin =(2 * pi/lambda_G.diel) - (2 * pi / lambda_G.aire)
desfase total en radianes (delta_fi.rad)
basicamente se multiplica la diferencia de fase por mm (milimetro) por la longitud fija de la placa.
delta_fi.rad= delta_B x L
pasando de radianes a grados es:
delta_fi.grados = delta_fi.rad * 180/pi
Aquí los 3 cálculos para banda C para el dieléctrico ejemplo:
1) para 3950 mhz, la frecuencia media elegida.
algunas variables ya aparecen calculadas (ver en los cálculos como se hace).
lambda_G.diel= 96.89 mm
lambda_G.aire= 113.29 mm
delta_Beta= (2 * pi/96.89) - (2 * pi / 113.29) =0.064848 - 0.055460 =0.009388 rad/mm
calculo del desfase:
delta_fi.rad = 0.009388 rad/mm * 166.86 mm = 1.5665 rad
pasamos a grados:
delta_fi.grados= 1.5665 * 180/pi = 89.75 grados
debería dar 90 grados. pero recordemos que es un calculo aproximado.
2) para 3400 mhz, la frecuencia mas baja:
lambda_0= 300/3.4 ghz = 88.235 mm
lambda_g.aire= 88.235 / SQRT(1.0 - (88.235/102.36)^2) = 174.07 mm
lambda_g.diel= 88.235 / SQRT(1.165 - (88.235/102.36)^2) =135.84 mm
delta_Beta= (2 * pi/135.84) - (2 * pi/174.07) = 0.046254 - 0.036095 = 0.010159 rad/mm
calculo del desfase:
delta_fi.rad = 0.010159 rad/mm * 166.86 mm = 1.6951 rad
pasamos a grados:
delta_fi.grados= 1.6951 * 180/pi = 97.12 grados
En este caso tenemos 7.12 grados mas de desfase, pero no afecta la recepción. Hasta un limite del 10 % es tolerable.
3) para 4200 mhz, la frecuencia mas alta:
lambda_0= 300/4.2 ghz = 71.428 mm
lambda_g.aire= 71.428 / SQRT(1.0 - (71.428/102.36)^2) = 99.72 mm
lambda_g.diel= 71.428 / SQRT(1.165 - (71.428/102.36)^2) =86.74 mm
delta_Beta= (2 * pi/86.74) - (2 * pi/99.72) = 0.072437 - 0.063008 = 0.009429 rad/mm
calculo del desfase:
delta_fi.rad = 0.009429 rad/mm * 166.86 mm = 1.5733 rad
pasamos a grados:
delta_fi.grados= 1.5733 * 180/pi = 90.14 grados
En este caso tenemos muy poco desfase (0.14 grados), así que no afecta la recepción.
IMPEDANCIA DE LA GUIA DE ONDAS
Veamos como calcular la impedancia de la guía de ondas:
a veces este dato puede ser útil, al menos como curiosidad para FTA.
la impedancia en el vacío es de 377 ohms (Z0)
para 12.5 ghz:
lambda_0=C/F=300/12=24 mm
X11=1.8412
lambda_c = (2 * pi * a)/x11 =(2 * pi * 14)/1.8412 = 47,78 mm
Zfeed= Z0 / sqrt(1-(lambda_0/lambda_c)^2)=
Zfeed= 377/sqrt(1-(24/47.78)^2)=
Zfeed= 377/sqrt(1 - (0.5023022185)^2)=
Zfeed= 377/sqrt(1 - 0.2523075)
Zfeed= 377 /sqrt(0.74769248)=
Zfeed= 377/0.864692= 435.99 = 436 ohms.
ESPESOR "A OJO" DEL DIELECTRICO:
es un dato puramente estimativo para comenzar los diseños considerando un espesor del dieléctrico acorde a la frecuencia de trabajo y el diámetro del feed. dado que a mayor frecuencia el dieléctrico tiene menos espesor pero el feed también tiene menos diámetro. Y un espesor del dieléctrico superior al 10% del feed tiende a complicar la situación mas que favorecerla.
g= 0.08 * D , donde D es el diámetro interno del feed.
si D es 08 mm, g es 0.63 mm
si D es 11 mm , g es 0.88 mm
si D es 12 mm, g es 0.96 mm
si D es 18 mm , g es 1.44 mm
si D es 28 mm , g es 2.24 mm
si D es 40 mm , g es 3.20 mm
si D es 60 mm , g es 4.80 mm
si D es 65 mm , g es 5.20 mm
ANALISIS DEL DIELECTRICO DOBLE FLECHA DE 2010
Hace 16 años se publicó sobre un dieléctrico doble flecha anónimo, que en esos tiempos recién era conocido y hoy con las formulas vistas podríamos hacer ingeniería inversa y analizar su funcionamiento. Además, conviene que hagamos ese análisis para descubrir un misterio.
El dieléctrico doble flecha mide 145 mm de largo. se forma con un rectángulo central de 58 mm x 60 mm y dos triángulos de 60 mm de base y 43.5 mm de altura. Eso significa que el dieléctrico base original era de 101.5 mm x 60 mm. El material es plexiglass de 6 mm y para banda C.
Realizados algunos cálculos, se descubre que el dieléctrico fue calculado para la frecuencia media de 3900 mhz, con una Eeff = 1.31 y lambda_G.diel= 101.5 mm, es decir una longitud de onda guiada completa.
Luego al convertirse en doble flecha, el diseñador original aplicó la técnica de acoplamiento de impedancias para evitar que la señal rebotara al ingresar, por eso el doble flecha.
Los 43.5 mm de altura de cada flecha no corresponden a una fracción exacta (1/4 o 1/2 onda) sino al comportamiento de la onda en el plexiglass puro si este ocupase todo el feed.
Imaginemos un feed completamente relleno de plexiglass, con Er=2.6, la longitud de onda guiada en el plexiglass es lambda_G.plex = 53.8 mm, si calculamos 1/2 onda nos da 38 mm asi que no coincide, pero si calculamos la hipotenusa del triangulo de corte (el largo real de la rampa inclinada que ve la onda), aplicamos Pitágoras con la mitad de la base = 30 mm y la altura de 43.5 mm y el resultado es 52.84 mm. Entonces el largo de la rampa es casi idéntico a una longitud de onda guiada completa dentro del plexiglass puro (53.8 mm).
A ver si la explico mejor: las puntas de flecha de cada triangulo, tienen 52.84 cada una y la base 60 mm. Se tratará de una coincidencia ?.
En las transiciones de microondas (llamadas tapers), cuando cortas un dieléctrico en forma de flecha, el objetivo es que la onda no vea el cambio de ambiente de golpe. Al diseñar la "rampa" para que mida exactamente una longitud de onda guiada (lambda_g) en su plano inclinado, logras un acoplamiento perfecto y las reflexiones que se producen al inicio de la rampa se cancelan matemáticamente con las que se producen al final de la misma. Entonces esa medida no parece una coincidencia sino mas bien fue pensada para la cancelación de reflexiones por desfase de 180 grados. Si pudiésemos ver las ondas, el primer rebote ocurre en la punta del triangulo (flecha) y el segundo rebote ocurre al llegar a la base del triangulo. Para que no se pierda ganancia, el segundo rebote debe cancelar al primer rebote y eso se consigue si las ondas viajan desfasadas 1/2 longitud de onda, es decir a contrafase (cuando una sube la otra baja).
Estudiando mas el asunto vemos que el largo de onda dentro de la sección de transición, el promedio de la longitud de onda guiada es de aproximadamente 105.6 mm. si dividimos ese valor a la mitad, para buscar la cancelación, el resultado es 52.8 mm. Quien diseño este dieléctrico sabia que para que la onda recorriera esa distancia, rebotara y volviera y se cancelara debía medir 52.8 mm. Seguramente uso Pitágoras a la inversa para despejar la altura necesaria, así: altura=SQRT(52.8^2 - 30^2) = 43.43 mm. Este es el misterio del que hablaba al comienzo. Los cálculos de los doble flecha no mencionan nada acerca de esta particularidad. creo que es un dato para tomar nota y no dejarlo pasar por alto. Puede que sea una idea brillante no documentada. Los FTAperos somos además de exploradores del cielo, experimentadores.
Además, el dieléctrico funcionará bien en toda la banda C desde 3400 a 4250 mhz. Podemos tomar ese dieléctrico como funcional para banda C y usarlo en LNBs simples de una sola salida !!!. Si, porque los lnb twin y quad tienen varias antenas internas y en ellos hay que colocar el dieléctrico bien a 45 grados, ni mas ni menos. Si eso no ocurre puede que suceda un fenómeno llamado cross-talk es decir la mezcla de señales R con L que hacen subir el BER, perdiéndose la calidad de la señal.
Bueno, espero que estos artículos ayuden a los FTAperos a disfrutar mas su hobby. Nunca pensé que intentar desarrollar artículos sobre dieléctricos me haría "traspirar como testigo falso" en medio de formulas y métodos de calculo donde todos eran valores aproximados y en algún momento los números no cerraban ni prendiéndole velas a san parabólico. Por eso hubo que recurrir a la tabla de Eeff, porque los cálculos teóricos de esa propiedad del material a veces se alejaban mucho de la realidad y los dieléctricos comenzaban a ser o de mucho espesor o demasiado largos. Después de un largo tiempo de recolectar información técnica y chequearla, se pudo armar la tabla y que ésta sea útil para todos los cálculos. Aun así siguen siendo los cálculos aproximados.
Hablar de dieléctricos y no mencionar a los que usa Directv en sus LNB es imperdonable, así que para terminar la serie creo que intentare armar un articulo sobre los Septum y lo que se sabe de su calculo, porque, como vimos, mucho de lo que vemos en microondas se consigue por software de emulación electromagnética en 3D como ANSYS HFSS o CST Microwave Studio o Ansys lumerical o COMSOL Multiphysics (Módulo de RF / Wave Optics) aun de mas precisión, entre otros.
Hemos hablado de dielectricos, hemos buscando la manera de calcularlos a pesar de todo. Una empresa de Tv por satelite usa una "escalerita" en sus lnb para despolarizar las ondas: el septum o septo. De eso hablaremos en un proximo articulo si Dios quiere. No podemos dejar de mencionarlo siendo que dicen es mejor solucion que el dielectrico de teflon.
Espero poder realizar un programa de calculo de dieléctricos, como he hecho con otros temas, porque así podrán aprovecharlo toda la comunidad del FTA y no sufrirán como yo con la calculadora en la mano. mientras tanto, les deseo éxito en sus cálculos manuales. Viva el FTA !!!.
Saludos Cordiales
FTApinamar